"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 553, стр. 132-147

N-преобразование и факторизация DN-оператора.

М. И. Белишев, Д. В. Кориков

С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Фонтанка 27, 191023 Санкт-Петербург, Россия

belishev@pdmi.ras.ru

thecakeisalie@list.ru

Аннотация: Пусть $(\Omega,g)$ есть гладкое компактное трехмерное риманово многообразие с гладким краем $\Gamma$, $\tau(x):={\rm dist\,}(x,\Gamma)$, $x\in\Omega$; $\Omega^\tau:=\{x\in\Omega\,|\,\,{\rm dist\,}(x,\Gamma)<\tau$\}, $\Gamma^\tau:=\{x\in\Omega\,|\,\,{\rm dist\,}(x,\Gamma)=\tau$\}, $\tau\geqslant 0$. Упрощая техническую сторону задачи, мы предполагаем, что $\Omega$ гомеоморфно шару в $\mathbb R^3$. Пусть $\mathscr P:=\{\nabla p\,|\,p\in H^1(\Omega)\}$ есть пространство потенциальных векторных полей и пусть $\mathscr L_\lambda:=\{\varkappa\nabla\tau\,|\,\,\varkappa\in L_2(\Omega)\}$ суть поля, параллельные $\nabla\tau$. N-преобразование это отображение из $\mathscr P$ в $\mathscr L_\lambda$, которое определяется послойно (в соответствии с представлением $\Omega=\cup_{\tau\geqslant 0}\Gamma^\tau$) по правилу $$ Nh\,\big|_{\Gamma^\tau}:=(P^\tau h)\big|_{\Gamma^{\tau-0}}, \qquad\tau>0, $$ где $P^\tau$ суть проекторы в $\mathscr P$ на подпространства $\mathscr P^\tau:=\{h\in\mathscr P\,|\,{\rm supp\,}h\subset\overline{\Omega^\tau}\}$. Мы показываем, что $N$ есть унитарный оператор. Пусть $p=p^f(x)$ есть решение задачи Дирихле: $\Delta_g p=0$ в $\Omega\setminus\Gamma$, $p=f$ на $\Gamma$. DN-оператор $\Lambda$ действует по правилу $\Lambda f:=-\langle\nabla p^f,\nabla\tau\rangle$ на $\Gamma$. Мы показываем, что с N-преобразованием связана некоторая факторизация $\Lambda^{-1}=V^*V$ и обсуждаем ее возможное использование для восстановления $(\Omega,g)$ по $\Lambda$. Библ. -- 8 назв.
Ключевые слова: разложение Гельмгольца--Вейля трехмерных векторных полей, подпространство потенциальных полей, гармонические поля, N-преобразование, DN-оператор и его факторизация [ Helmholtz--Weyl decomposition of 3D vector fields, subspace of potential fields, harmonic fields, N-transform, DN-map and its factorization]

Полный текст(.pdf)