"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 553, стр. 326-357

Усреднение одномерного периодического оператора четвертого порядка с сингулярным потенциалом при учете корректоров

В. А. Слоущ, И. М. Чупров

Санкт-Петербургский государственный университет, Университетская наб., д. 7/9, Санкт-Петербург, 199034

v.slouzh@spbu.ru

st107572@student.spbu.ru

Аннотация: В пространстве $L_2(\mathbb{R})$ рассматривается дифференциальный оператор $B_{\varepsilon}$ четвертого порядка вида $B_{\varepsilon} = \frac{d^4}{dx^4} + \varepsilon^{-4} V({x}/\varepsilon)$, где $V(x)$ -- вещественная $1$-периодическая функция класса $L_{2, \operatorname{loc}}(\mathbb R)$, а $\varepsilon >0$ -- малый параметр. Предполагается, что точка $\lambda_0 =0$ является нижним краем спектра оператора $B = \frac{d^4}{dx^4} + V({x})$, причем первая зонная функция $E_1(k)$ оператора $B$ на периоде $k \in [-\pi, \pi)$ достигает минимума ровно в двух точках $\pm k_0$, $0< k_0 <\pi$, и ведет себя как $g^{(1)}(k \mp k_0)^2$, $g^{(1)} >0$, вблизи этих точек. Изучается поведение при малом $\varepsilon$ резольвенты $(B_{\varepsilon} + I)^{-1}$. Получена аппроксимация рассматриваемой резольвенты по операторной норме с погрешностью $O(\varepsilon^4)$. Аппроксимация описывается в терминах спектральных характеристик оператора $B$ на краю спектра. Библ. -- 34 назв.
Ключевые слова: периодические дифференциальные операторы, усреднение, операторные оценки погрешности [periodic differential operators, homogenization, operator error estimates]

Полный текст(.pdf)