%Date: Fri, 26 Feb 1999 20:50:38 +0100 (MET)
%From: Arnold Vladimir <arnold@pi.ceremade.dauphine.fr>
%Subject: polugruppy

Vot zadacha dlia computernogo eksperimenta-
s perspektivoi zakonchit' dokazatel'stvami.
   
     STATISTIKA POLUGRUPP NATURAL'NYKH CHISEL.

   Passmotrim n natural'nykh chisel a1,...,an
(dalee n fiksirovano, interesno uzhe n=3, a chisla
bol'shie).
   Ikh summy obrazuiut polugruppu S(a) natural'nykh chisel.
Predpolozhim, chto obschii naibol'shii delitel' =1.
Togda nachinaia s nekotorogo zelogo K(a) bce zelye
lezhat v S(a).

    Primer: n=2,togda K=(a1-1)(a2-1).
    
    Vychislenie K dlia
    bol'shikh n nazyvaetsia problemoi Frobeniusa.

    Zadacha 1. Issledovat' statistiku K(a) dlia tipichnykh bol'shikh
vektorov a.
 
    Hipoteza 1. K~ c (a1 a2 ... an)^{1/(n-1)}, c=((n-1)!)^{1/(n-1)}.
    
    Pri n=2 polugruppa S zanimaet polovinu otrezka 0,K (Sil'vestr).
    

    Zadacha 2. Issledovat', kakuiu doliu otrezka (0.K) zanimaet S
pri bol'shikh a.

    Hipoteza 2. Asimptoticheski 1/n (s podavliaiuschei veroiatnostiu
pri bol'shikh a).
    Ob'iasnenie i obsuzhdenie- nizhe.

    Primery pokazyvaiut, chto S plotnee zapolniaet pravuiu chast'
otrezka.

    Zadacha 3. Issledovat' tipichnuiu plotnost' zapolnenia
asimptoticheski pri bol'shikh a.

    Hipoteza 3. Asymptoticheski plotnost' p(N) v tochke N vedet sebia
kak cN^{n-1}, a chislo K daetsia usloviem p(N)=1.

    Hipoteza 2 poluchaetsia iz takogo raspredelenia potomu, chto
treugol'nik zapolniaet polpriamoygol'nika, parabolicheskii treugol'nik-
tret' i tak dalee.

   Zadacha 4. Rassmotrim plotnost' polugruppy s uchetom kratnostei
(schitaia tochku stol'ko raz, skol'kimi sposobami ona predstavliaetsia
v vide (k,a), gde k - zelochislennyi vektor neotrizatel'nogo ortanta,
a- vektor , komponenty kotorogo- obrazuiuschie).
   Naiti etu plotnoct' asimptoticheski (pri bol'shom a) .

   Hipoteza 4. 
p(N) ~ cN^{n-1} pri liubom N (ne tol'ko N<K)  
    
   Tut est' nekotoroe somnenie- sovpadaiut li asimptoticheski obe
plotnosti (s kratnost'u i bez) pri N<K ? Pri n=2 eto tak, i vrode by
i dal'she tak, no khorosho by proverit' eksperimental'no vse eti
hipotezy!

    KOMMENTARII. Asimptoticheskie plotnosti nado ponimat' tak.
Fiksiruem (Jordanovu) oblast' U -poproctu shar ili kub- v R^n gde
zhivet a. Fiksiruem (bol'shoe) chislo M. Rassmatrivaem
vse zelye tochki a iz MU. Otbiraem ne imeiushie obschego delitela
a. Rassmatrivaem polugruppy S(a). Vychisliaem K(a).

    Rassmatrivaem proekzii k->(a,k) neotrizatel'nykh zelykh k
iz Z^n na os' polugruppy. Normiruem etu os' scalingom
N-> N/K(a).Proekzii obrazuiut lokal'no konechnoe mnozhestvo.
Na nem v kachesve mery berem normirovannuiu usloviem
 zavisiashcuiu ot a atomarnuiu meru, gde
mera tochki libo vsegda 1, libo ravna chislu
sproektirovavshikhsia tuda zelykh tochek k.Oboznachim meru
otrezka [0,1] cherez Z(a).
     Poluchennye takim obrazom mery usredniaem po a iz MU
(mozhno dazhe esche s plotnostiu). Mera-eto funkzional, skazhem, na 
nepreryvnykh ili gladkih funkziah, ego i usredniaem, o ego
shodimosti i idet dalee rech'.Rassmotrim sluchai s kratnostiami.

       Osnovnaia hipoteza. Dlia liuboi horoshei funkzii f
otnoshenie integrala po etoi usrednennoi mere k integralu po
mere s plotnoctiu Cx^{n-1} skhoditsia k edinize,
gde C=M^{n-1}c i gde  c- usrednennyi po a iz U n-1-mernyi obiem
simpleksa {k: (k,a)=1, k_1>0, ... , k_n>0}.
    ....
 (detali propuskaiu).  
 
     V.Arnold