Семинар Арнольда 8 декабря 1998 Н.В.Илюшечкин "О некоторых тождествах над элементами симметрической матрицы". Полностью описаны два различных класса бесконечно гладких преобразований пространства n-мерных симметрических матриц. Для каждого регулярного (без кратных собственных значений) симметрического оператора установлено естественное разложение пространства симметрических операторов в прямую сумму ортогональных друг другу подпространств, одно из которых является множеством всевозможных функций от данного регулярного оператора. Найден объём параллелепипеда, натянутого на различные степени произвольного симметрического оператора в пространстве симметрических операторов. Найдено представление дискриминанта характеристического многочлена симметрической матрицы в виде суммы квадратов некоторых многочленов от элементов этой матрицы.