Arnold seminar, session of 22 April, 2003

Yu.S. Ilyashenko.
Conservation theorems in the theory of polynomial
dynamical systems and Kupka-Smale property for Henon mapppings.

Ю.С.Ильяшенко, 
Теоремы сохранения в теории полиномиальных динамических систем
и свойство Купки--Смейла для отображений Эно

Отображение плоскости на себя обладает свойством Купки--Смейла,
если все его периодические точки гиперболичны, а их устойчивые и
неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально. Типичность
этого свойства для гладких отображений доказывается с помощью
локальных возмущений и теоремы трансверсальности. Для
полиномиальных отображений техника локальных возмущений не
работает, и приходится пользоваться так называемой стратегией
Петровского--Ландиса.

Эта стратегия применяется к доказательству того, что некоторые
геометрические свойства (например, трансверсальность устойчивых и
неустойчивых многообразий периодических орбит) присущи
полиномиальным динамическим системам из некоторого всюду плотного
(и даже  более массивного) множества. Стратегия состоит в
следующем. Предположим, что интересующее нас свойство не
выполняется на некотором открытом множестве. Докажем, что тогда
это свойство нарушается глобально по пространству параметров. Эта
глобальность и формализуется в виде теорем сохранения. Докажем,
кроме того, что существует область, может быть, далекая от первой,
в которой интересующее нас свойство сохраняется всюду. Это
противоречит упомянутой выше теореме сохранения и доказывает
локальную типичность изучаемого свойства.

На этом пути доказана типичность свойства Купки--Смейла для
отображения Эно (совместная работа Баззарда, Хруски и докладчика).
Большинство проблем сохранения, например, проблемы сохранения
комплексных предельных циклов, остаются нерешенными.
---
http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem