Seminar V.I.Arnol'da. April 29, 2003.

S.M.Gusein-Zade.
Dugi na osobennost'akh, fil'tratsii, integraly po ejlerovoj kharakteristike.

Na kol'tse rostkov funktsij na osobom prostranstve $(V, 0)$ pomimo
obscheizvestnoj jestestvennoj fil'tratsii stepen'ami maksimal'nogo
ideala imejets'a jesche odna, sv'azannaja s mnozhestvom dug (rostkov
krivykh) na osobennosti. Imenno, dl'a dugi $\phi:(C, 0)\to(V, 0)$ i
dl'a rostka $f$ funktsii na $(V, 0)$ oboznachim cherez $v_\phi(f)$
por'adok rostka $f$ na duge $\phi$, t.je. por'adok nul'a kompozitsii
$f \circ \phi$. Funktsija $v(f)=\min_{\phi} v_\phi(f)$ javl'ajets'a
normirovanijem na kol'tse rostkov funktsij na $(V, 0)$ i opredel'ajet
na nem fil'tratsiju. R'ad Puankare (pochti) l'uboj fil'tratsii na kol'tse
funktsij mozhet byt' predstavlen kak integral ot monoma $t^{v(f)}$ po
otnosheniju k ejlerovoj kharakteristike po projektivizatsii prostranstva
funktsij. Vmeste s predyduschimi sovmestnymi s A.Campillo i F.Delgado
rezul'tatami eto dajet metod vychislenija r'ada Puankare opisannoj
fil'tratsii dl'a ratsional'nykh osobennostej poverkhnostej. V chastnosti,
dl'a osobennost'am $A_k$, $D_k$ i $E_k$ sopostavl'ajuts'a zagadochnyje
ratsional'nyje funktsii. Rezul'taty polucheny sovmestno s W.Ebeling'om.