Семинар Арнольда, Московский университет
13.04.2004

Пересечения тропических многообразий
Б.Казарновский

В тропиках суммой двух вещественных чисел называют максимальное из них, а
произведением - сумму этих чисел. Т.е., например, $a + bx + cy =
max(a,b+x,c+y)$. Вообще, тропический полином от $n$ переменных -- выпуклая
кусочно-линейная функция на $R^n$. Тропическая гиперповерхность -- "corner
locus" тропического полинома. В частности, выпуклому многограннику
соответствует тропическая гиперповерхность, т.к опорная функция выпуклого
многогранника является тропическим полиномом. Тропическое алгебраическое
многообразие -- "тропическое" пересечение "corner loci" конечного набора
тропических полиномов.

В последнее время появились содержательные приложения "тропической
алгебраической геометрии". Наиболее известно вычисление инвариантов
Громова-Виттена торической поверхности (Михалкин). Оно основано на том, что
подсчет количества нужных алгебраических кривых на торической поверхности
сводится к задаче подсчета тропических кривых на плоскости.

Тропические алгебраические многообразия образуют "тропическое кольцо Чжоу" с
наглядно определяемыми операциями "объединение-сумма" и
"пересечение-произведение". Его подкольцо, порожденное тропическими
гиперповерхностями выпуклых многогранников -- известный персонаж выпуклой и
алгебраической геометрии. Ранее оно строилось другими средствами (Пухликов -
Хованский, McMullen, Fulton-Sturmfels, Brion).

Тропический подход позволяет построить аналоги кольца многогранников для
диаграмм Ньютона и парусов Арнольда.