Arnold's seminar, Moscow University
13.04.2004

Peresechenija tropicheskih mnogoobrazij
B. Kazarnovskii	

V tropikah summoj dvuh veschestvennyh chisel nazyvajut maksimal'noe iz nih,
a proizvedeniem - summu etih chisel. T. e., naprimer, $a + bx + cy =
max(a,b+x,c+y)$. Voobsche, tropicheskij polinom ot $n$ peremennyh --
vypuklaja kusochno-linejnaja funkcija na $R^n$. Tropicheskaja
giperpoverhnostj -- “corner locus” tropicheskogo polinoma. V chastnosti,
vypuklomu mnogogranniku sootvetstvuet tropicheskaja giperpoverhnostj, t. k
opornaja funkcija vypuklogo mnogogrannika javljaetsja tropicheskim
polinomom. Tropicheskoe algebraicheskoe mnogoobrazie -- “tropicheskoe”
peresechenie “corner loci” konechnogo nabora tropicheskih polinomov.

V poslednee vremja pojavilisj soderzhatel'nye prilozhenija “tropicheskoj
algebraicheskoj geometrii”. Naibolee izvestno vychislenie invariantov
Gromova-Wittena toricheskoj poverhnosti (Mikhalkin). Ono osnovano na tom,
chto podschet kolichestva nuzhnih krivih na toricheskoj poverhnosti
svoditsja k zadache podscheta tropicheskih krivyh na ploskosti.

Tropicheskie algebraicheskie mnogoobrazija obrazujut “tropicheskoe kol'co
Chzhou” s nagljadno opredeljaemymi operacijami “ob'edinenie-summa” i
“peresechenie-proizvedenie”. Ego podkol'co, porozhdennoe tropicheskimi
giperpoverhnostjami vypuklyh mnogogrannikov -- izvestnyj personazh vypukloj
i algebraicheskoj geometrii. Ranee ono stroilosj drugimi sredstvami
(Pukhlikov-Khovanskii, McMullen, Fulton-Sturmfels, Brion).

Tropicheskij podhod pozvoljaet postroitj analogi kol'ca mnogogrannikov dlja
diagramm Newtona i parusov Arnol'da.