Семинар Арнольда МГУ, 9 ноября 2004 г. Разрывные градиентные динамические системы и траектории вариационных задач И.А.Богаевский Теорема о существовании и единственности решения, вообще говоря, не справедлива для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Однако, траектории дифференциального уравнения dx/dt=-sign(x) все-таки удовлетворяют этим теоремам при возрастании времени. А именно, в каждой точке начинается одна и только одна траектория, но заканчиваться может и больше. Кроме того, эта траектория непрерывно зависит от начальной точки. Правда, она может иметь излом, поэтому требуется уточнить, в каком смысле это решение дифференциального уравнения. Ответ прост: вместо обычной производной по времени надо рассматривать одностороннюю справа, что тоже согласуется с идеей возрастания времени -- его приращение должно быть положительным. Иными словами, внешние условия, описываемые правой частью дифференциального уравнения, влияют только на будущее, а отнюдь не на прошлое. Похожим образом устроены русла рек -- у них есть много притоков, но, как правило, нет рукавов (раздвоений). Описанные явления объясняются следующей несложной, но, как это ни странно, вроде бы новой теоремой. А именно, траектории градиентной динамической системы в евклидовом пространстве с вогнутым потенциалом удовлетворяют теоремам существования, единственности и непрерывной зависимости от начального условия при возрастании времени. Вогнутая функция -- это функция с выпуклым подграфиком; известно, что она непрерывна и имеет одностороннюю производную вдоль любого направления, непрерывно зависящую от последнего. Этот факт позволяет корректно определить градиент вогнутой функции как вектор, указывающий направление ее максимального возрастания и длина которого равна ее производной в этом направлении; если же вогнутая функция во всех направлениях не возрастает, то ее градиент равен нулю. В приведенном выше примере рассмотрена градиентная динамическая система с вогнутым потенциалом $-|x|$. Описанный результат мы применяем для построения траекторий вариационной задачи механики о минимуме принципа действия. Например, в асимптотиках уравнения Бюргерса с исчезающей вязкостью с течением времени все больше и больше частиц попадают в разрывы поля скоростей, называемые также ударными волнами. Согласно нашим результатам, движение частиц внутри ударных волн корректно определено, и для него справедливы теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начального условия. Более того, совершенно неожиданно оказалось, что точки с положительной массой не всегда находятся в узлах системы ударных волн, а также могут свободно двигаться от узла к узлу. --- http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem