Московский семинар В.И.Арнольда 14 декабря 2004

А.Г. Хованский
Многомерные первообразные и многомерные символы.

(Более подробное и продвинутое изложение доклада, прочитанного
на заседании ММО 7 декабря)

Аннотация доклада на заседании ММО:


С парой мероморфных функций $f,g$ и точкой $a$ на алгебраической
кривой Андре Вейль связал комплексное число - символ
$[f,g]_a$ и показал, что произведение символов по всем точкам
кривой равно единице (произведение имеет смысл, так как символ
отличен от единицы лишь в конечном числе точек). А.Н. Паршин
обобщил теорему Вейля на случай $(n+1)$-ой функции $f_i$ на
$n$-мерном алгебраическом многообразии $M$. Для комплексного
многообразия $M$ Брилинский построил класс когомологий с
коэффициентами в мультипликативной группе комплексных чисел
множества $M\setminus D$, где $D$ - объединение дивизоров
функций $f_i$. Это построение значительно обобщает теорему Паршина,
но оно использует весьма громоздкий аппарат теории пучков и
абсолютно не наглядно.

В докладе будет рассказана элементарная конструкция класса
когомологий Брилинского. Она наглядна и аналогична классической
конструкции индекса зацепления. Наша конструкция позволяет
определить определить много других классов когомологий и дает
элементарное объяснение теории Паршина для случая, когда основное
поле является полем комплексных чисел.