Семинар Арнольда МГУ, 1 марта 2005 Ю.С. Ильяшенко ПРОБЛЕМА О НУЛЯХ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ: СОРОК ЛЕТ РАЗВИТИЯ Число предельных циклов полиномиальных векторных полей, близких к интегрируемым, тесно связано с числом нулей абелевых интегралов по вещественным овалам многочленов на плоскости. Эта связь позволяет построить весьма разнообразные варианты расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости (Ю.Ильяшенко, 1969; И.Пушкарь (Хованская), 1997). Построение основано на {\it теореме о точности;} ее обобщение привело Л.Гаврилова к построению {\it модулей Петрова, 1998}, описывающих структуру абелевых интегралов как функций от параметра. Размерность пространства таких функций вычислена недавно И.Пушкарь (2002). Основная часть доклада будет посвящена {\it инфинитезимальной 16й проблеме Гильберта}, неявно содержавшейся в работе докладчика 1969 г. и явно сформулированной В.И.Арнольдом в 70х годах: оценить сверху число нулей Абелевых интегралов от полиномиальной 1-формы по овалам вещественного многочлена через степень этого многочлена и степень коэффициентов 1-формы под интегралом. Существование такой оценки доказано А.Варченко и А.Хованским, 1984. Это доказательство было одним из первых достижений теории малочленов Хованского. Ряд (неявных) оценок сверху на упомянутое выше число нулей получен Д.Новиковым и С.Яковенко. В докладе будет рассказано о совместной работе А.Глуцюка и докладчика, в которой эта оценка (зависящая от свойств ``типичного'' многочлена, по овалам которого берется интеграл) получена явно. --------------------- http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem