Семинар Арнольда, МГУ, 5 апреля 2005 МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К МЕХАНИКЕ А.П. Сейранян, А.А. Майлыбаев, О.Н. Кириллов Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва Теория устойчивости является одной из наиболее интересных и важных областей прикладной математики, имеющей многочисленные приложения как в естественных науках, так и в промышленности. В последние десятилетия необходимость исследования устойчивости различных процессов возникла также в биологии, экономике и социологии. Поскольку любая физическая система содержит параметры, основной целью настоящей работы является ответ на вопрос: как устойчивое состояние равновесия или стационарное движение системы становится неустойчивым при изменении параметров. Пространство параметров, таким образом, разбивается на области устойчивости и неустойчивости. Оказывается, что граница между этими областями состоит из гладких поверхностей, но может иметь различного рода особенности. Одна из основных идей настоящей работы состоит в развитии и использовании теории бифуркаций и катастроф для качественного и количественного исследования пространства параметров. Это позволяет придать теории особенностей конструктивный вид, удобный для использования в приложениях. В работе показано, как граница области устойчивости и ее особенности могут быть описаны по информации о спектральных свойствах системы в отдельных регулярных и сингулярных точках границы. Авторами разработана новая многопараметрическая теория бифуркаций собственных значений матричных и линейных дифференциальных операторов, являющаяся ключевым средством для исследования устойчивости и неустойчивости как систем с конечным числом степеней свободы, так и распределенных. Изучены важные случаи сильного и слабого взаимодействий (столкновений) собственных значений и дана их геометрическая интерпретация. Этот анализ, осложненный наличием нескольких параметров и недифференцируемостью кратных собственных значений, удалось провести, изучая бифуркации собственных значений при изменении параметров вдоль гладких кривых, выпущенных из особых точек границы области устойчивости. С использованием этой теории авторами исследованы особенности границ областей устойчивости различных типов механических систем (консервативных, неконсервативных, гамильтоновых, гироскопических, циркуляционных) и дано подробное описание и объяснение таких механических эффектов, как гироскопическая стабилизация, динамическая (флаттер) и статическая (дивергенция) неустойчивость, перехлест частотных кривых и скачок критической нагрузки, смена критического тона потери устойчивости, стабилизация и дестабилизация неконсервативных систем малыми диссипативными и гироскопическими силами, параметрический резонанс и др. Значительная часть работы посвящена сложным задачам устойчивости периодических систем, зависящих от многих параметров. Эти проблемы оставались неразрешенными более 100 лет с момента появления работ таких ученых, как Матье, Флоке, Хилл, Рэлей, Ляпунов и Пуанкаре. С самого начала эти задачи содержали два или три параметра. В настоящей работе с использованием многопараметрической теории бифуркаций собственных значений, разработанной авторами, дано геометрическое описание областей параметрического резонанса и их особенностей для периодических систем. В качестве приложений развитой теории авторами рассмотрены различные задачи об устойчивости механических систем, включая трубы, по которым течет жидкость, стержни при различных условиях нагружения, вращающиеся валы и системы связанных тел, пластинки и крылья в потоке газа и др. Авторами проведен детальный многопараметрический анализ устойчивости, показывающий, как развитая теория бифуркаций и особенностей используется при решении конкретных практических задач, а также выполнены эксперименты по параметрическому резонансу упругих стержней, которые подтвердили высокую точность теоретических расчетов. Литература: Seyranian A.P. and Mailybaev A.A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications. World Scientific, 2003. 420 p.