Семинар Арнольда, МГУ, 12 апреля 2005

Алексей Ремизов.
Об особых точках дифференциальных уравнений.

Доклад посвящен особым точкам дифференциальных уравнений, не разрешенных
относительно производных. Он состоит из двух частей. Первая часть - обзор
основных результатов, относящихся к одному дифференциальному уравнению
F(x,y,p)=0, где p=dy/dx. Для такого уравнения имеется достаточно много
результатов, полученных различными авторами: А.А.Давыдов, L.Dara, J.Bruce,
D.Fidal, F.Tari  и др. Планируется также рассказать о применении таких
уравнений в дифференциальной геометрии: сеть линий кривизны двумерной
поверхности в окрестности омбилической точки.

Вторая часть доклада будет посвящена особым точкам систем дифференциальных
уравнений, не разрешенных относительно производных (размерности более 1). В
отличие от одномерного случая, многомерный случай исследован значительно
меньше. При изучении таких систем возникают векторные поля специального
вида. А именно, первые две компоненты векторного поля (назовем их v и w)
являются независимыми функциями, а остальные принадлежат идеалу,
порожденному v и w в кольце гладких функций. Особые точки такого поля
образуют гладкое многообразие коразмерности 2 в фазовом пространстве. При
малых возмущениях исходной задачи многообразие особых точек не исчезает и не
вырождается, а лишь деформируется. Спектр линеаризации поля в особой точке
имеет два ненулевых собственных значения, а остальные -- нули (особая
точка -- частично гиперболическая).
Из теоремы сведения (Шошитайшвили) сразу же следует, что такое поле
топологически эквивалентно произведению стандартного двумерного седла или
узла и тривиальной системы (правая часть тождественно равна нулю). Однако
вопрос о гладкой классификации таких полей сложнее. Будут рассказаны
некоторые результаты, полученные докладчиком в этом направлении.

-----
http://www.pdm.ras.ru/~arnsem