Семинар Арнольда, МГУ
21 февраля 2006, ауд. 1414, начало 16-20.

Траектории частиц в вариационной задаче о наименьшем действии
И.А.Богаевский

Около года назад на семинаре уже рассказывалось, как понятие градиента
гладких функций обобщается на их суммы с вогнутыми функциями. Кроме
того, для обыкновенного дифференциального уравнения, правая часть
которого --- градиент суммы вогнутой и гладкой функций, была
сформулирована и доказана теорема существования, единственности и
непрерывной зависимости решения при возрастании времени.

На очередном заседании семинара планируется в деталях напомнить
формулировку этой теоремы (без доказательства!) и рассказать, как с ее
помощью в вариационной задаче о наименьшем механическом действии в
пространстве произвольной размерности построить физически естественное
движение частиц, определенное даже на разрывах поля скоростей,
называемых также ударными волнами. Это движение удовлетворяет
следующему простому правилу: скорость каждой частицы совпадает с
центром минимального шара, содержащего скорости частиц, бесконечно
близких к данной в рассматриваемый момент времени. В частности,
совершенно неожиданно оказалось, что в плоской задаче точки с
положительной массой не всегда находятся в узлах ударной волн, а могут
свободно двигаться от узла к узлу. (Узел --- это одна из типичных
особенностей ударной волны на плоскости, нормальная форма которой
состоит из трех лучей, выходящих из узла под равными углами в 120
градусов.)

---
http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem