Санкт-Петербургский семинар
по теории операторов и теории функций

(ПОМИ, 311, понедельник, 17-30)
Весна 2006

• 24.04.06 С.М.Шиморин (Стокгольм). "Геометрия нулей многочленов и их производных и некоторые задачи теории операторов." В докладе пойдет речь о том, как некоторые задачи геометрии нулей многочленов и их производных (как, например, гипотеза Сендова) допускают интерпретацию на языке теории операторов. Недавний прогресс в этом направлении связан с работами Перейры, Маламуда и Борcеа, основные результаты которых тоже будут освещены. Наконец, будут затронуты некоторые вопросы геометрии нулей преобразований Коши положительных мер.
• 17.04.06 Е.Л.Коротяев (Берлин) "Обратные задачи для операторов Шредингера с периодическими распределениями." Мы рассматриваем оператор Шредингера Sy=-y''+q'y на вещественной прямой, где потенциал q' есть периодическая обобщенная функция, являющаяся производной некоторой функции q из L^2(0,1). Спектр S абсолютно непрерывен и состоит из отрезков, разделенных лакунами. Мы решаем обратную задачу (включая характеризацию) как в терминах вертикальных разрезов на плоскости квазиимпульса, так и в терминах длин лакун. Для доказательства мы: 1) устанавливаем априорные двусторонние оценки для этих отображений, вытекающие из теории конформных отображений. В частности, мы можем связать L^2(0,1) норму функции q и \ell_{-1}^2 норму последовательности длин лакун; 2) показываем, что соответствующее отображение Рикатти является вещественно-аналитическим изоморфизмом и устанавливаем двусторонние оценки для отображения Рикатти.
• 10.04.06 Д.С.Челкак "Спектральная теория оператора Хилла с матричнозначным потенциалом." Мы рассматриваем оператор Шредингера Hy=-y''+Vy, где y есть векторнозначная функция, заданная на вещественной прямой, а V=V^\top - вещественный периодический матричнозначный (N\times N) потенциал. Первая часть доклада будет посвящена известным результатам и основным конструкциям, относящимся к скалярному случаю (N=1), а во второй будут рассмотрены два вопроса: 1) асимптотическая структура спектра оператора с матричным потенциалом и ее описание в терминах функции Ляпунова, являющейся аналитической функцией на некоторой N-листной римановой поверхности (в скалярном случае (N=1) функция Ляпунова есть целая функция спектрального параметра); 2) построение усредненного квазиимпульса, являющегося конформным отображением верхней полуплоскости на надграфик некоторой функции и некоторые априорные оценки, вытекающие из существования такого отображения.
• 03.04.06 А.И.Храбров "Мажоризация и геометрия корней многочленов." В докладе будут обсуждаться неравенства между корнями и критическими точками многочлена с комплексными коэффициентами. Будет рассказано про связь подобных неравенств с операторами проектирования в $C^n$, а также классическими результатами теории мажоризации. В частности будет приведено доказательство (Перейра, 2003 год) старой гипотезы де Брейна и Спрингера. А именно: для любой выпуклой функции $f: C \to R$ имеет место неравенство $$ (f(w_1) + f(w_2) + \dots + f(w_{n-1}))/(n-1) \leq (f(z_1) + f(z_2) + \dots + f(z_n))/n ,$$ где $z_1$, $z_2$, \dots, $z_n$ все корни некоторого многочлена $p(z)$, а $w_1$, $w_2$, \dots, $w_{n-1}$ все корни его производной $p'(z)$. Никаких предварительных знаний для понимания доклада не требуется.
• 27.03.06 И.Р.Каюмов (Казань) "Метрические свойства гармонической меры на жордановых кривых." В докладе будут рассмотрены вопросы абсолютной непрерывности гармонической меры (на границе жордановой области) относительно некоторых хаусдорфовых мер. В частности, будет рассказано о количественном уточнении оценок Карлесона-Макарова.
• 20.03.06. А.Л.Вольберг (Мичиган) "Асимптотики ортогональных полиномов за пределами теоремы Сеге-Колмогорова-Крейна." Мы находим асимптотики ортогональных полиномов в случае, если логарифмически суммируемый вес возмущен точечной мерой вне круга. Мы также находим асимптотики, если вес перестает быть логарифмически суммируемым (в этом случае требуется ренормализация). Одним из главных приемов является вариант теоремы Кусиса о двух весах.
• 13.03.06. А.М.Вершик "Универсальные метрики и группы изометрии." Будет рассказано о замечательном универсальном метрическом пространстве Урысона, о том, как его получить с помощью инвариантной метрики на группе целых чисел и о связях с теорией банаховых пространств.
• 06.03.06. Ф.Л.Бахарев "Некоторые патологические свойства пространств Глускина". Тематика доклада восходит к работам Глускина, Шарека и Манкевича, посвященным построению конечномерных аналогов пространств без базиса, вещественных пространств, на которых нельзя ввести комплексную структуру, и вещественных пространств, на которых можно ввести несколько существенно различных (в смысле комплексного расстояния Банаха--Мазура) комплексных структур. Кроме классических, предполагается осветить аналогичные результаты для модифицированного расстояния Банаха--Мазура, введеного Храбровым.
• 27.02.06, 20.02.06 C.Cмирнов (Женева-Стокгольм)
  "Случайные кривые и конформные отображения".

Вернуться на основную страницу семинара