Санкт-Петербургский семинар
по теории операторов и теории функций

(ПОМИ, 311, понедельник, 17-30)
Осень 2009

• 21.12.09 Ю.С.Белов Ограниченность и обратимость дискретного преобразования Гильберта с редкими полюсами (по совместной работе Т.Менгсте,К.Сейпа и докладчика).
  Для каких $v_n$ i $\mu$: дискретное преобразование Гильберта $H((a_n)) = \sum_n a_n*v_n/(z-t_n)$ - ограниченный оператор из $l2(v_n)$ в $L2(d\mu,C)$ ? Особый интерес представляет случай когда $\mu$ - дискретная мера. Для быстро растущих $|t_n|$ мы дадим необходимые и достаточные условия ограниченности похожие на классическое условие Макенхаупта. Дискретное преобразование Гильберта естественным образом возникает при изучении пространств целых функций где существует базис Рисса из воспроизводящих ядер (пространства Пэли-Винера, пространства де Бранжа, пространства Фоковского типа и т.д). В частности наши результаты позволяют описать все Карлесоновы меры (и ,в частности, последовательности Бесселя) и все базисы Рисса в некоторых "малых" пространствах целых функций. В качестве приложений мы проверим гипотезу Фейхтингера для этих пространств (и воспроизводящих ядер)и дадим контрпример к гипотезе Баранова (о конечности элементов последовательности Бесселя между двумя соседними полюсами).
• 07.12.09 Д.С.Челкак Одномерные мультипликативные каскады и формула KPZ.
  Основная цель доклада - популяризовать работу Benjamini-Schramm'а http://arxiv.org/abs/0806.1347 об одной конструкции случайной меры на отрезке и возникающей точной формуле пересчета хаусдорфовых размерностей случайных подмножеств этого отрезка (формула Книжника-Полякова-Замолодчикова).
• 30.11.09. Е.С.Дубцов Факторизация ограниченных функций на окружности.
  (Реферат статьи Ж.Бургейна). Этот доклад перенесен с 16.11.09.
• 23.11.09 А.Д.Баранов Усеченный Операторы Теплица II
  В докладе будет подробно изложено доказательство существования ограниченных символов у усеченных операторов Теплица в в двух модельных ситуациях - для пространства Пэли-Винера и для случая конечных матриц. Также будет обсуждаться связь с ограниченностью на воспроизводящих ядрах.
• 16.11.09 В.В.Пеллер Липшицевы функции возмущённых операторов
  Доклад будет посвящён совместным результатам с Ф.Л. Назаровым. Будут получены оценки слабого типа для липшицевых функций от возмущённых операторов.
• 09.11.09 В.И.Васюнин Функция Беллмана для максимального оператора.
  В докладе предполагается иллюстрация метода получения оценок с помощью так называемой функции Беллмана. В качестве объекта иллюстрации в этот раз выбраны оценки максимального оператора. Не предполагается предварительных знаний ни о том, что такое функция Беллмана, ни о том, что такое максимальный оператор - все определения будут разобраны во время доклада. Акцент будет сделан на элементарности метода, позволяющего получать весьма нетривиальные оценки.
• 02.11.09 А.Д.Баранов Усеченные операторы Теплица
  Усеченным оператором Теплица называют сужение классического оператора Теплица на некоторое модельное подпространство $K_\Theta$ с последующим проектированием, то есть для функции $\phi$ на окружности усеченный оператор Теплица (УОТ) определяют формулой $A_\phi f = P_\Theta (\phi f)$ на множестве тех функций $f$ из $K_\Theta$, для которых $\phi f$ принадлежит $L2$. В отличие от обычных операторов Теплица, символ УОТ неединственен, и УОТ может быть в некоторых случаях продолжен до ограниченного оператора и для неограниченного символа. Систематическое изучение УОТ было начато недавно в статьях Д. Сарасона, однако целый ряд естественных вопросов остаются открытыми. Так, до недавнего времени не было известно, обладает ли каждый ограниченный УОТ ограниченным символом. В докладе будет показано, что в общем случае это не так, однако для некоторых внутренних функций ответ положителен.
• 26.10.09 Д.С.Челкак Применение теоремы о неподвижной точке к обратной спектральной задаче.
  Учебный доклад, полностью доступный для понимания студентов. Будет рассказано простое доказательство теоремы о характеризации спектральных данных оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалами из пространств $L^p$ (для всех $1\le p<+\infty$). Локальная сюръективность нелинейного отображения, сопоставляющего спектральные данные потенциалу, будет получена при помощи элементарного применения теоремы о неподвижной точке.
• 19.10.09 О.Макаревич. Об одном диффеоморфизме,производимом гармоническим векторным полем.
  Будет построено диффеоморфное отображение v верхнего полупространства {x_3>0} пространства R3 на то же полупространство, разрезанное вдоль отрезка с концами (0,0,0) и (0,0,1), причем rot v=0, div v=0, так что v есть пространственный аналог аналитической функции sqrt(z2-a2),a>0, конформно отображающей верхнюю полуплоскость на ту же полуплоскость с разрезом [0,ai]. Гармонические (т.е. безвихревые соленоидальные) поля суть естественные аналоги аналитических функций на плоскости,но аналога теоремы Римана об отображениях односвязных областей для них нет, и построение гармонического диффеоморфизма для конкретной пары трехмерных областей всегда есть штучная работа.
• 12.10.09. Е.В.Малинникова (Трондхейм).
  Частотно-временная локализация для ортонормальных последовательностей и базисов.
  Time frequency localization for orthonormal sequences and bases.
  We will discuss uncertainty principles for orthonormal sequences of functions in L^2(R^n). In particular we show that there does not exist a basis with bounded time and frequency means and bounded product of dispersions for L^2(R) though it is not difficult to construct an infinite orthogonal sequence with this property. The statement does not hold for n>1 and we describe the dependence of the time frequency localization on the dimension of the space.
• 5.10.09 Н.А.Широков Заседание посвящено памяти Е.М.Дынькина (1949-1999).
  О работах Е.М.Дынькина по теории приближений.
• 28.09.09 Н.Н.Осипов Неравенство Литлвуда--Пэли для произвольных параллелепипедов в $R^n$ при $0 < p \le 2$.
  В 1983 году Рубио де Франсиа доказал, что при $2 \le p < \infty$ одностороннее неравенство Литлвуда--Пэли выполняется для произвольного набора непересекающихся интервалов. Не так давно (2005 г.) С. В. Кисляков и Д. В. Парилов установили, что двойственное неравенство выполняется для всех $0 < p \le 2$ (а не только для $1 < p \le 2$). В то же время известно, что результат Рубио де Франсиа можно распространить на $R^n$ (то есть вместо непересекающихся интервалов рассмотреть непересекающиеся параллелепипеды со сторонами, параллельными осям координат). Впервые это показал Журне, причем его результат не является тривиальным следствием результата Рубио де Франсиа. Для доказательства Журне использовал специальную лемму о покрытиях, пространства $BMO$ на прямых произведениях полуплоскостей $R2_+$ и теорию операторов Кальдерона--Зигмунда на прямых произведениях евклидовых пространств. Мы распространим результат Кислякова и Парилова на $R^n$, совместив технику, которую они использовали при доказательстве, с техникой, "двойственной" рассуждениям Журне.
• 21.09.09 A.Б.Александров Несколько замечаний об операторных модулях непрерывности (по совместной работе с В.В.Пеллером) Пусть f=f(t) -- непрерывная функция вещественной переменной t. Тогда она определяет функцию f=f(A) самосопряжённого оператора A. Мы определяем опрераторный модуль непрерывности \Omega_f как модуль непрерывности функции f(A). Другими словами, \Omega_f -- это наименьшая фунция, удовлетворяющая условию \|f(B)-f(A)\|\le\Omega_f(\|B-A\|) для любых самосопряжённых операторов A и B. Мы вводим также коммутаторный модуль непрерывности com\Omega_f и квазикоммутаторный модуль непрерывности qcom\Omega_f. Это наименьшие функции, удовлетворяющие условиям \|f(A)T-Tf(A)\|\le com\Omega_f(\|AT-TA\|) и \|f(B)T-Tf(A)\|\le qcomOmega_f(\|BT-TA\|) для любого ограниченного оператора T единичной нормы. Предполагается доказать, что квазикоммутаторный модуль непрерывности совпадает с коммутаторным модулем непрерывности. Будет построен пример, показывающий, что операторный модуль непрерывности не обязан совпадать с коммутаторными, хотя он и оценивается через них сверху и снизу после умножения на соответствующие константы. Важную роль для построения примера будет играть операторная версия неравенства Бернштейна с константой 1. Это неравенство позволяет строить и другие примеры. В частности, можно доказать существование нелинейной функции f, для которой скалярный модуль непрерывности совпадает с операторным модулем непрерывности.

Вернуться на основную страницу семинара