Санкт-Петербургский семинар
по теории операторов и теории функций

(ПОМИ, 311, понедельник, 17-30)
Весна 2009

• 04.05.09 А.А.Баранов "Гипотеза Фейхтингера для воспроизводящих ядер модельных подпространств" (совместная работа с К.М. Дьяконовым, Барселона).
  Знаменитая гипотеза Фейхтингера (ГФ) утверждает, что любая последовательность Бесселя в гильбертовом пространстве представима как объединение конечного числа последовательностей Рисса (т.е. базисов Рисса в своих линейных оболочках). Это, по-видимому, исключительно трудный вопрос. Недавно было показано, что ГФ эквивалентна гипотезе Кадисона-Зингера, а также некоторым другим известным открытым вопросам. Естественно рассмотреть ГФ для специальных семейств, и в частности для семейств (нормированных) воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах аналитических функций. В этом случае бесселевость эквивалентна теореме вложения карлесоновского типа, а свойство быть последовательностью Рисса означает возможность свободной весовой интерполяции. Для большого числа классических пространств ГФ для семейств воспроизводящих ядер справедлива. В настоящем докладе мы обсудим некоторые частичные результаты о справедливости ГФ в модельных подпространствах класса Харди (эта задача, возможно, не намного проще общего случая ГФ, так как геометрические свойства ядер модельных подпространств очень разнообразны и нетривиальны). В частности, будет доказана ГФ для ядер, отвечающих точкам, "близким к спектру внутренней функции", а также для случай однокомпонентной внутренней функции.
• 27.04.09 В.П.Гурарий "Явление Стокса".
  Stokes' phenomenon, and indeed the whole study of divergent series, had been surrounded by an "aroma of paradox and audacity"(Sir John E. Littlewood, 1948). It has been described and explained from different points of view in numerous publications, especially during the last two decades (e.g. "Hyperasymptotics Berry and Howls 1990, 1991, "Series divergentes et theories asymptotiques Ramis, 1993, "The Devil's Invention: Asymptotic, Superasymptotic and .. 1999, J.P. Boyd). We consider classes of functions uniquely determined by coefficients of their divergent expansions. Approximating a function in such a class by partial sums of its expansion, we study how accuracy changes when we move within a region of the complex plane. This enables us to discover some features of the phenomenon which are not covered in the literature. We show that the region of the analyticity of Watson's classical theorem (1911) on Borel summation, together with its extensions found by Nevanlinna (1918) and Sokal (1980), is not maximal. Subsequently, we use the above mentioned features, to determine the maximal region. Extending the Watson's ideas (1911), (1918) this allows us to propose a theory of divergent expansions, which includes Stokes' phenomenon as its essential part. This in turn allows us to formulate the necessary and sufficient conditions for general divergent expansions to encounter Stokes' phenomenon.
• 20.04.09 А.И.Храбров "Задача Тарского и близкие вопросы".
  Рассмотрим покрытие выпуклого тела конечным числом полос. В 1932 Тарский высказал предположение, что сумма ширин полос всегда не меньше чем ширина тела. Спустя 20 лет это предположение было доказано Бангом. Аффинно-инвариантный аналог этого утверждения ($\sum w_n/w_n(K) \geq 1$, где $w_n$ --- ширина $n$-й полосы, а $w_n(K)$ --- ширина тела $K$ в направлении перпендикулярном $n$-й полосе) до сих пор является лишь гипотезой. В 1991 году Болл с помощью функционально-аналитических методов установил справедливость этой гипотезы для центрально-симметричных выпуклых тел. В докладе пойдет речь о доказательстве Болла, а также некоторых современных результатах, близких к задаче Тарского.
• 13.04.09 Б.С.Митягин (Коламбус, США). "Спектральные римановы поверхности: регуляризованные следы и неприводимость".
  Cross-ref: На семинаре по мат. физике (13.00-15.00): Б.С.Митягин "Зоны неустойчивости для операторов Шредингера и Дирака".
• 06.04.09 Е.С. Дубцов. "Весовые операторы композиции на пространствах роста".
  Пусть $B$ обозначает открытый единичный шар в комплексном евклидовом пространстве. Зафиксируем голоморфное отображение $F$ из шара $B$ в шар $B$ и функцию $g$, которая голоморфна в шаре $B$. Весовым оператором композиции называют результат последовательного применения оператора композиции с отображением $F$ и оператора умножения на функцию $g$.
  Получено описание тех $F$ и $g$, для которых соответствующий весовой оператор композиции является ограниченным (или компактным) оператором из пространства роста в весовое пространство Бергмана. Также получены некоторые обобщения этого результата и исследованы родственные интегральные операторы.
• 30.03.09. A.Б.Александров. "Функция класса $\Lambda_\alpha$ как функция от самосопряжённого оператора" (по совместной работе с В.В.Пеллером)
  Пусть f=f(t) -- непрерывная функция вещественной переменной t. Тогда она определяет функцию f=f(A) самосопряжённого оператора A.
  Теорема 1. Пусть функция f(t) удовлетворяет условию Гёльдера порядка \alpha, \alpha<1. Тогда функция f(A) тоже удовлетворяет условию Гёльдера порядка \alpha. Как известно, при \alpha=1 (то есть для функций, удовлетворяющих условию Липшица) соответствующее утверждение не имеет места. Аналог теоремы 1 имеет место для классов Зигмунда. На самом деле справедливо следующее утверждение:
  Теорема 2. Предположим, что n-ые конечные разности функции f(t) с шагом h допускают оценку O(|h|^\alpha), причём 0<\alpha< n. Тогда n-ые конечные разности функции f(A) с шагом K (где K обозначает самосопряжённый оператор) допускают оценку O(\|K\|^\alpha).
  Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Предположим, что оператор K принадлежит классу фон Неймана--Шаттена S_p при p>n. Тогда n-ые конечные разности функции f(A) с шагом K принадлежат классу S_{p/\alpha}.
  Теоремы 1, 2, 3 распространяются также на случай неограниченных самосопряжённых операторов A. Аналогичные результаты имеют место для унитарных операторов и для сжатий.
• 23.03.09 А.И.Назаров. "Параболические уравнения с коэффициентами, разрывными по $t$". (по совместной работе с В.А. Козловым).
  С помощью специального разложения функции Грина и оценок получающихся сингулярных и слабо полярных интегральных операторов доказывается разрешимость задачи Дирихле для указанных уравнений в анизотропных весовых пространствах.
• 16.03.09. Н.Вавилов. "Решение уравнений и систем уравнений".
  Часто приходится слышать, что уравнения степени >=5 невозможно решить ТОЧНО. В действительности, теорема Руффини---Абеля утверждает лишь, что ОБЩЕЕ уравнения степени 5 невозможно решить В РАДИКАЛАХ, а теория Галуа дает ответ на вопрос, когда такое решение возможно. ТОЧНОЕ решение уравнений степени 5 было получено в конце XVIII -- начале XIX века Ламбертом, Брингом, Джеррардом и Эйзенштейном. Во второй половине XIX века Эрмит, Кронекер, Клейн и другие открыли еще один способ точного решение уравнений степеней <=7, в терминах тета-функций, который, уже в наше время, привел к точному решению алгебраических уравнений ПРОИЗВОЛЬНОЙ степени. Однако, по совершенно загадочным причинам не только содержание этого решения, но и сам факт его существования является тайной, которая тщательнейшим образом скрывается от неспециалистов.
  С другой стороны, в 1964 году Бухбергер предложил алгоритм, позволяющий привести любую СИСТЕМУ алгебраических уравнений к каноническому виду. В частности, любая система алгебраических уравнений имеющая конечное число решений сводится к решению нескольких уравнений от ОДНОЙ неизвестной и, таким образом, также может быть решена точно. Так как решение ВСЕХ задач школьной геометрии сводится к решению систем алгебраических уравнений (и неравенств), то ЛЮБАЯ задача школьной математики может быть за секунды решена на бытовом компьютере. В последнее 10--15 лет выяснилось, что ТЕ ЖЕ соображения полностью применимы к решению дифференциальных и интегральных уравнений различных типов. Разумеется, ситуация здесь несколько сложнее, так как вместо КОММУТАТИВНОГО кольца многочленов приходится проводить вычисления в НЕКОММУТАТИВНЫХ кольцах дифференциальных операторов. Кроме того, не каждое дифференциальное уравнение может быть решено точно. Тем не менее, такие уравнения и системы дифференциальных уравнений также можно приводить к каноническому виду, что, например, во многих случаях РЕЗКО упрощает задачу их численного решения. Ввиду разнородности тематики и технической сложности реальных алгоритмов доклад будет носить научно-популярный характер.
• 02.03.2009. М. Я. Мазалов (Смоленск, Военная академия войсковой ПВО ВС РФ).
  "О разрешимости задачи Дирихле для бианалитических функций".
  Бианалитическими функциями (на открытых подмножествах комплексной плоскости) называются функции, квадрат оператора Коши-Римана которых равен нулю. Строится жорданова область $D$ с липшицевой границей $\Gamma$, такая, что для любой функции $f\in C(\Gamma)$ существует функция $F$, бианалитическая в $D$, непрерывная в замыкании $D$ и совпадающая с $f$ на $\Gamma$. Установлено, что если $\Gamma$ «немного лучше, чем липшицева кривая», например, содержит дугу Дини-Ляпунова, такой пример уже невозможен.

Вернуться на основную страницу семинара