Санкт-Петербургский семинар
по теории операторов и теории функций

(ПОМИ, 311, понедельник, 17-30)
Весна 2010

• 17.05.10 Н.А.Широков О связи скорости убывания коэффициентов степенного ряда и скорости убывания его суммы вдоль радиуса (по работе А.М.Чирикова)
  
• 26.04.10 А.Д.Баранов Полнота системы, биортогональной к системе воспроизводящих ядер.
  Пусть в гильбертовом пространстве аналитических функций дана полная и минимальная система воспроизводящих ядер. Будет ли биортогональная к ней система полна? Хорошо известно, что семейства экспонент на отрезке (т.е. воспроизводящие ядра пространства Пэли-Винера) таким свойством обладают. Н.К. Никольский поставил соответствующий вопрос для модельных подпространств класса Харди. Недавно Ю. Белов получил отрицательный ответ на этот вопрос. В докладе мы обсудим контрпримеры к вопросу о полноте, а также выделим класс пространств, для которых полнота биортогональной системы всегда имеет место.
• 19.04.10 Д.Руцкий Слабая BMO-регулярность совпадает с обычной.
  Пара (X, Y) квазинормированных решеток измеримых функций на измеримом пространстве T x Ω, m x μ называется BMO-регулярной, если для любых ненулевых функций f ∈ X, g ∈ Y существуют мажоранты u ≥ |f|, v ≥ |g|, такие, что |​|u|​|_X ≤ m |​|f |​|_X, |​|v |​|_Y ≤ m |​|g |​|_Y и |​| log (u (⋅, a) /v (⋅, a)) |​|_BMO ≤ C при почти всех a ∈ Ω. Пара (X, Y) называется слабо BMO-регулярной, если BMO-регулярна пара (X L₁, Y L₁). Эти свойства достаточны и, по крайней мере в некоторых случаях, необходимы для "правильной" интерполяции пары (X_A, Y_A) соответствующих аналитических подпространств. Легко проверить, что свойство слабой BMO-регулярности следует из свойства BMO-регулярности, самодвойственно и устойчиво относительно деления на решетку. С помощью теоремы о неподвижной точке мы покажем, что для пар решеток, обладающих свойством Фату, эти свойства совпадают.
• 12.04.10 К.Ю.Федоровский (Москва) C^m-аппроксимация полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений на плоских компактах.
  Я планирую рассказать о C^m-приближаемости функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений на плоских компактах. В частности, предполагается обсудить случай C^n-1-приближаемости полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений порядка n, в котором соответствующий критерий приближаемости аналогичен критерию Мергеляна равномерной приближаемости функций полиномами комплексного переменного. Кроме того, если позволит время, я планирую рассказать о новых результатах, связанных с равномерной приближаемостью функций полианалитическими многочленами. Эти результаты относятся к случаю, когда компакт, на котором рассматривается аппроксимация, не является компактом Каратеодори и когда возникающие условия приближаемости зависят от порядка полианалитичности.
• 05.04.10 А.А. Седаев (Воронеж) Коммутативные задачи, возникающие из «некоммутативной геометрии А. Конна»
  1. Сингулярные симметричные функционалы (ССФ), как следы Диксмье на симметричных пространствах измеримых функций.
  2. Симметричные пространства, допускающие существование ССФ.
  3. Обобщенные пределы, порождающие ССФ.
  4. Понятие S-измеримых по А. Конну элементов и проблема их описания.
  5. Стабильные и S-измеримые элементы.
  6. Максимальное стабилизирующее подпространство пространства Марцинкевича и его свойства.
  7. Альтернативные формулы вычисления ССФ (формулы типа Лидского, формулы, связанная с «асимптотикой полугруппы распространения тепла» и с «асимптотикой дзета-функции элемента пространства»).
  8. Некоторые нерешенные вопросы.
  
• 22.03.10 А.Б.Александров Реферат статьи К.Дьяконова и Д.Хавинсона "Smooth functions in star-invariant subspaces".
  Статья состоит из 2 частей. 1. Пусть I - сингулярная внутренняя функция, соответствующая сингулярной мере μ. Хорошо известно, что модельное пространство K_I не содержит ненулевых гладких функций в том и только в том случае, когда мера μ исчезает на любом множестве Бёрлинга-Карлесона. Оказывается, что этот результат остаётся в силе, если гладкость понимать в весьма широком смысле.
  2. Пусть ω - модуль непрерывности, B - произвольная внутренняя функция, φ - неотрицательная непрерывная функция на единичной окружности. В работе описаны все тройки (ω,B,φ), обладающие следующим свойством. Модуль непрерывности любой функции f класса K_B, удовлетворяющей условию |f|=φ, оценивается сверху функцией Cω. В докладе больше внимания будет уделено первой части статьи. В частности, предполагается изложить используемый там классический результат Коренблюма-Робертса о характеристике циклических внутренних функций в классах Бергмана.
• 22.03.10 Е.С.Дубцов Дробные преобразования Коши, мультипликаторы и операторы Чезаро.
  Пусть B(n) обозначает единичный шар в n-мерном комплексном пространстве. Для a>0 обозначим символом K(a, n) класс всех функций f(z), представимых при z из B(n) в виде интеграла от ядра Коши в степени a по некоторой комплексной мере, заданной на границе шара B(n). Получены явные свойства поточечных мультипликаторов для пространств K(a, n). Также показано, что классический оператор Чезаро ограничен на пространствах K(a, 1).
• 15.03.10 Р.В.Бессонов Усеченные операторы Теплица и факторизации псевдопродолжимых функций.
  Понятие усеченного оператора Теплица (УОТ) является естественным аналогом хорошо известного определения оператора Теплица применительно к модельным пространствам. Важным вопросом об усеченных операторах Теплица является вопрос возможности выбора ограниченного символа у ограниченного УОТ. В двух докладах, прошедших в ноябре прошлого года, А.Д.Баранов построил примеры ограниченных УОТ, у которых нельзя выбрать ограниченный символ. Также была разобрана теорема о том, что в случае модельного пространства, отвечающего сингулярной функции с единственной точечной нагрузкой, каждый ограниченный УОТ, действующий в этом пространстве, имеет ограниченный символ. Недавно докладчиком был получен критерий возможности выбора ограниченного символа у каждого УОТ в терминах факторизаций псевдопродолжимых функций. Используя этот критерий, А.Д.Баранов доказал, что в модельных пространствах, отвечающих однокомпонентным функциям, каждый ограниченный УОТ обладает ограниченным символом. Также в докладе будут построены новые примеры ограниченных УОТ без ограниченного символа. Докладчиком будут приведены все сведения, необходимые для понимания доклада.
• 01.03.10 П.Иванишвили, С.В.Кисляков Еще раз об исправлении до функций с редким спектром и равномерно сходящимся рядом Фурье.
  В начале 80-х годов второй автор доказал аналог теоремы Меньшова об исправлении для произвольной конечномерной компактной абелевой группы; при этом у сиправленной функции ряд Фурье мог сходиться равномерно в практически любом предписанном заранее разумном смысле, а ее спектр мог быть погружен в предписанное заранее редкое множество. Важной составной частью доказательства был один технический прием из теории аппроксимации в пространствах L^p с p < 1. С тех пор эта теория сильно усовершенствовалась, что позволяет погружать спектр исправленной функции в более причудливые редкие множества, чем было возможно 30 лет назад. Кроме того, оказалось возможным еще несколько усилить смысл равномерной сходимости ряда Фурье исправленной функции. Об этом и будет рассказано в докладе. Предварительных знаний, в том числе и знакомства с упомянутым результатом 30-летней давности, не требуется.
• 22.02.10 М.Я.Мазалов (Смоленск) О задаче равномерного приближения гармоническими функциями
  В случае аналитических функций А.Г. Витушкиным в 60-годы было получено (в терминах аналитической емкости) необходимое и достаточное условие равномерной приближаемости функции, непрерывной на компакте в C и аналитической внутри компакта, функциями, аналитическими в его окрестностях. Будет обсуждаться соответствующая проблема для гармонических функций в R³, которая оказалась значительно сложнее (например, Lecture Notes in Mathematics, V.1574, 1994, eds. V.P.Havin and N.K. Nikolski, Problem 12.15) Результат, аналогичный условию А. Г. Витушкина, получен в предположении, что гармоническая емкость дополнения к компакту обладает некоторой однородностью. Именно, пусть X - компакт, X^o - множество всех внутренних точек X, x ∈ R³ - X^o, B - шар с центром x. Тогда ∩ (2B - X) ≤ A ∩ (B - X) с некоторой постоянной A=A(X)>0. В доказательстве существенно используется L₂ - ограниченность преобразований Рисса на липшицевой поверхности, причем нужная поверхность предварительно конструируется.

Вернуться на основную страницу семинара