\documentclass[12pt]{article} \baselineskip=.2cm \textwidth=165mm \textheight=22cm \voffset -1.5cm \hoffset -1cm \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsthm} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} %%%%%%%%%% Some definitions %%%%%%%%%% %%%%% Equations, labels, theorems %%%%% \renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}} \def\[{\begin{equation}} \def\]{\end{equation}} \def\lb{\label} \newcommand{\er}[1]{{\rm(\ref{#1})}} \theoremstyle{plain} \newtheorem{theorem}{\bf Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{\bf Лемма} \newtheorem{corollary}[theorem]{\bf Следствие} \newtheorem{proposition}[theorem]{\bf Утверждение} \newtheorem{definition}[theorem]{\bf Определение} \newtheorem{remark}[theorem]{\it Замечание} \newtheorem{example}[theorem]{\it Пример} \newtheorem{exercise}[theorem]{\it Упражнение} %%%%% Alphabet %%%%% \def\a{\alpha} \def\cA{{\cal A}} \def\bA{{\bf A}} \def\mA{{\mathscr A}} \def\b{\beta} \def\cB{{\cal B}} \def\bB{{\bf B}} \def\mB{{\mathscr B}} \def\g{\gamma} \def\cC{{\cal C}} \def\bC{{\bf C}} \def\mC{{\mathscr C}} \def\G{\Gamma} \def\cD{{\cal D}} \def\bD{{\bf D}} \def\mD{{\mathscr D}} \def\d{\delta} \def\cE{{\cal E}} \def\bE{{\bf E}} \def\mE{{\mathscr E}} \def\D{\Delta} \def\cF{{\cal F}} \def\bF{{\bf F}} \def\mF{{\mathscr F}} \def\c{\chi} \def\cG{{\cal G}} \def\bG{{\bf G}} \def\mG{{\mathscr G}} \def\z{\zeta} \def\cH{{\cal H}} \def\bH{{\bf H}} \def\mH{{\mathscr H}} \def\e{\eta} \def\cI{{\cal I}} \def\bI{{\bf I}} \def\mI{{\mathscr I}} \def\p{\psi} \def\cJ{{\cal J}} \def\bJ{{\bf J}} \def\mJ{{\mathscr J}} \def\vT{\Theta} \def\cK{{\cal K}} \def\bK{{\bf K}} \def\mK{{\mathscr K}} \def\k{\kappa} \def\cL{{\cal L}} \def\bL{{\bf L}} \def\mL{{\mathscr L}} \def\l{\lambda} \def\cM{{\cal M}} \def\bM{{\bf M}} \def\mM{{\mathscr M}} \def\L{\Lambda} \def\cN{{\cal N}} \def\bN{{\bf N}} \def\mN{{\mathscr N}} \def\m{\mu} \def\cO{{\cal O}} \def\bO{{\bf O}} \def\mO{{\mathscr O}} \def\n{\nu} \def\cP{{\cal P}} \def\bP{{\bf P}} \def\mP{{\mathscr P}} \def\r{\rho} \def\cQ{{\cal Q}} \def\bQ{{\bf Q}} \def\mQ{{\mathscr Q}} \def\s{\sigma} \def\cR{{\cal R}} \def\bR{{\bf R}} \def\mR{{\mathscr R}} \def\S{\Sigma} \def\cS{{\cal S}} \def\bS{{\bf S}} \def\mS{{\mathscr S}} \def\t{\tau} \def\cT{{\cal T}} \def\bT{{\bf T}} \def\mT{{\mathscr T}} \def\f{\phi} \def\cU{{\cal U}} \def\bU{{\bf U}} \def\mU{{\mathscr U}} \def\F{\Phi} \def\cV{{\cal V}} \def\bV{{\bf V}} \def\mV{{\mathscr V}} \def\P{\Psi} \def\cW{{\cal W}} \def\bW{{\bf W}} \def\mW{{\mathscr W}} \def\o{\omega} \def\cX{{\cal X}} \def\bX{{\bf X}} \def\mX{{\mathscr X}} \def\x{\xi} \def\cY{{\cal Y}} \def\bY{{\bf Y}} \def\mY{{\mathscr Y}} \def\X{\Xi} \def\cZ{{\cal Z}} \def\bZ{{\bf Z}} \def\mZ{{\mathscr Z}} \def\B{{\rm B}} \def\O{\Omega} \def\Y{\Upsilon} \def\ve{\varepsilon} \def\vt{\vartheta} \def\vp{\varphi} \def\vk{\varkappa} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\T{{\mathbb T}} \def\N{{\mathbb N}} \def\dD{{\mathbb D}} %%%%% Arrows %%%%% \def\la{\leftarrow} \def\ra{\rightarrow} \def\Ra{\Rightarrow} \def\ua{\uparrow} \def\da{\downarrow} \def\lra{\leftrightarrow} \def\Lra{\Leftrightarrow} %%%%% Math signs %%%%% \let\ge\geqslant \let\le\leqslant \def\/{\over} \def\iy{\infty} \def\sm{\setminus} \def\es{\emptyset} \def\ss{\subset} \def\ts{\times} \def\pa{\partial} \def\os{\oplus} \def\ev{\equiv} \def\1{1\!\!1} \def\iint{\int\!\!\!\int} \def\iintt{\mathop{\int\!\!\int\!\!\dots\!\!\int}\limits} \def\el2{\ell^{\,2}} %%%%% Typography %%%%% \def\qq{\quad} \def\qqq{\qquad} \def\lt{\biggl} \def\rt{\biggr} \def\no{\noindent} \def\ol{\overline} \def\wt{\widetilde} \def\wh{\widehat} \def\mto{\mathop{\ \to\ }\limits} \newcommand{\nt}[1]{{\mathop{#1}\limits^{{}_{\,\bf{\sim}}}}\vphantom{#1}} \newcommand{\nh}[1]{{\mathop{#1}\limits^{{}_{\,\bf{\wedge}}}}\vphantom{#1}} \newcommand{\nc}[1]{{\mathop{#1}\limits^{{}_{\,\bf{\vee}}}}\vphantom{#1}} \newcommand{\oo}[1]{{\mathop{#1}\limits^{\,\circ}}\vphantom{#1}} \newcommand{\po}[1]{{\mathop{#1}\limits^{\phantom{\circ}}}\vphantom{#1}} %\def\BBox{\hspace{1mm}\vrule height6pt width5.5pt depth0pt \hspace{6pt}} %%%%% Math operations %%%%% \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\Iso{\mathop{\rm Iso}\nolimits} \def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits} \def\Ran{\mathop{\rm Ran}\nolimits} \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits} \def\arg{\mathop{\rm arg}\nolimits} \def\const{\mathop{\rm const}\nolimits} \def\det{\mathop{\rm det}\nolimits} \def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits} \def\dim{\mathop{\rm dim}\nolimits} \def\dist{\mathop{\rm dist}\nolimits} \def\rank{\mathop{\rm rank}\limits} \def\res{\mathop{\rm res}\limits} \def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits} \def\span{\mathop{\rm span}\nolimits} \def\supp{\mathop{\rm supp}\nolimits} \def\VP{\mathop{\rm v.p.}\nolimits} \def\olim{\mathop{\overline{\lim}}\limits} \def\ulim{\mathop{\underline{\lim}}\limits} \newcommand\matr[4]{\left(\begin{array}{cc}#1 & #2 \cr #3 & #4\end{array}\right)} \newcommand\vect[2]{\left(\begin{array}{c} #1 \cr #2 \end{array}\right)} %%%%%%%%%%% End of definitions %%%%%%%%%% \begin{document} \begin{center} {\Large \bf Доп. главы анализа. "Ленивый"\ конспект.} \vskip 12pt {\large $\rm M{\bf\forall}T\!\!-\!\!M{\bf\exists}X$, 3 семестр, ПОМИ-группа, {\it Челкак Д.С.}} \end{center} \noindent \underline{\hbox to 1\textwidth{{ } \hfil{ } \hfil{ } }} \phantom{Delta4}\hfill © Delta4, 2006. \begin{center} {\LARGE \bf I. Расходящиеся ряды. Тауберовы теоремы.} \end{center} \setcounter{section}{-1} \section{Одно вычисление с расходящимся рядом.} Как известно, $$ 1-x+x^2-x^3+\dots = \frac{1}{1+x},\qquad |x|<1. $$ Решительно (или нерешительно?) выйдя за границы применимости этого тождества в обычном смысле, положим $x=e^{i\theta}$, где $\theta\in(-\pi,\pi)$. Итак, мы начинаем с равенства, которое, если встать на строгую точку зрения (а точнее на ту пока единственную строгую точку зрения, которая нам доступна из стандартного курса анализа), представляет собой полную бессмыслицу: $$ 1-e^{i\theta}+e^{2i\theta}-e^{3i\theta}+\dots=\frac{1}{1+e^{i\theta}}= \frac{\cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2}}{2\cos\frac{\theta}{2}},\qquad |\theta|<\pi. $$ Переходя к вещественной части: \[ \label{0CosIdent} \cos\theta-\cos 2\theta + \cos 3\theta - \dots = \frac{1}{2},\qquad |\theta|<\pi. \] Интегрируя от $0$ до $\phi$: $$ \sin\phi-\frac{\sin 2\phi}{2}+\frac{\sin 3\phi}{3} -\dots = \frac{\phi}{2}. $$ Заметим, что это равенство вполне можно трактовать в классическом смысле\begin{footnote}{Некоторое недоумение вызывает то, что левая часть периодична по $\phi$, в то время, как правая - нет. Почему так? Дело в том, что надеяться придать какой-то строгий смысл равенству (\ref{0CosIdent}) при $\theta=\pm\pi$ нельзя - левая часть имеет сумму $-\infty$ в классическом смысле, поэтому и проинтегрировать через эту точку надеяться невозможно. А значит мы должны оставаться в промежутке $|\phi|<\pi$.}\end{footnote} - ряд сходится по признаку Дирихле. Не задумываясь об обоснованиях законности, проинтегрируем еще раз - от $0$ до $\theta$: \[ \label{02} (1-\cos\theta) - \frac{1-\cos 2\theta}{4} + \frac{1-\cos 3\theta}{9} - \dots = \frac{\theta^2}{4},\qquad |\theta|<\pi. \] А теперь, чтобы окончательно избавиться от комплексов\begin{footnote}{Вообще-то, такой сильный образ неуместен - если бы мы научились обосновывать (\ref{02}) при $|\theta|<\pi$, то, используя равномерную сходимость ряда в (\ref{02}), легко бы могли (вполне строго!) перейти к пределу при $\theta\to\pi$.}\end{footnote}, подставим $\theta=\pi$. После тривиальных арифметических операций, получаем: $$ {1\/1}+{1\/9}+{1\/25}+\dots={\pi^2\/8}. $$ Ну а отсюда уже легко\begin{footnote}{Пусть ${1\/1}+{1\/4}+{1\/9}+\dots=a$ и ${1\/1}+{1\/9}+{1\/25}+\dots=b$. Тогда (в силу положительности всех членов ряда) ясно, что $$ a=b+{1\/4}+{1\/16}+{1\/36}+\dots=b+{a\/4}, $$ то есть $a={4\/3}b$.}\end{footnote} вытекает \[ \label{0InvSq} {1\/1}+{1\/4}+{1\/9}+\dots={\pi^2\/6}. \] Заметим, что последние два равенства - вполне классические, ряды, суммы которых мы предъявляем (хотелось бы сказать "находим", но мы прибережем этот глагол для строгих выводов), прекрасно сходятся в классическом смысле. \setcounter{equation}{0} \section{Определения. Сходимость по Чезаро. Сходимость по Абелю-Пуассону.} В этом параграфе мы будем чаще говорить о расширение понятия предела последовательности, а не о суммировании рядов (сумма ряда - это предел его частичных сумм). \begin{definition} Пусть $\{s_n\}_{n=1}^\iy$ - какая-нибудь последовательность. Мы будем говорить, что она имеет предел {\bf в смысле Чезаро}, равный $b$, и писать $$ \lim_{n\to\iy}s_n = b\ \ (C), $$ если $$ {s_1+s_2+\dots+s_n\/n}\mto_{n\to\iy} b $$ в обычном смысле. \end{definition} \begin{exercise} {\rm Пусть $s_{2k+1}=1$, $s_{2k}=0$. Проверьте, что $\lim_{n\to\infty} s_n={1\/2}\ \ (C)$. Это утверждение можно воспринимать, как строгую версию равенства (\ref{0CosIdent}) для $\theta=0$. Проверьте, что (\ref{0CosIdent}) верно для любого $\theta\in(-\pi,\pi)$, если его понимать в смысле сходимости частичных сумм ряда по Чезаро.} \end{exercise} Эту конструкцию легко обобщить. Пусть нам дано семейство коэффициентов $$ \G=(\g_{kn})_{k,n=1}^\iy= \left(\begin{array}{cccc}\g_{11} & \g_{12} & \g_{13} & \dots \cr \g_{21} & \g_{22} & \g_{23} & \dots \cr \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right). $$ Будем говорить, что $\lim_{n\to\infty} s_n = b\ \ (\G)$ (т.е. в смысле метода суммирования $\G$), если для каждого $k$ определено выражение $f_k=\sum_{n=1}^{+\infty}\g_{kn}s_n$ и $\lim_{k\to\infty}f_k=b$ в обычном смысле. \begin{remark} {\rm Для метода Чезаро матрица коэффициентов имеет вид $$ \left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 0 & \dots \cr {1\/2} & {1\/2} & 0 & 0 & \dots \cr {1\/3} & {1\/3} & {1\/3} & 0 & \dots \cr \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right). $$ }\end{remark} Индекс $k$ вполне может принимать и непрерывное множество значений, суть схемы от этого не меняется. В частности, второй метод, который мы будем рассматривать - метод Абеля-Пуассона - устроен именно так. \begin{definition} Для $k\in (0,1)$ и $n\in\N$ положим $\g_{kn}=k^{n-1}\cdot (1\!-\!k)$. Будем говорить, что $\lim_{n\to\iy}s_n=b\ \ (AP)$ ({\bf в смысле Абеля-Пуассона}), если $$ \sum_{n=1}^{+\iy}\g_{kn}s_n=(1\!-\!k)\sum_{n=1}^{+\iy}k^{n-1}s_n\mto_{k\uparrow 1} b $$ в обычном смысле. \end{definition} \begin{remark}[перевод на язык рядов] {\rm Мы будем говорить, что ряд суммируем в смысле Чезаро: $\sum_{n=1}^{+\iy}a_n=b\ \ (C)$, если $\lim_{n\to\infty}s_n=b\ \ (C)$, где $s_n=a_1+\dots+a_n$, т.е. $$ {s_1+\dots+s_n\/n}= a_1+{n\!-\!1\/n}\,a_2+{n\!-\!2\/n}\,a_3+\dots+{1\/n}\,a_{n}\mto_{n\to\iy} b $$ в обычном смысле. Аналогично, $\sum_{n=1}^{+\iy}a_n=b\ \ (AP)$, если $$ (1\!-\!k)\sum_{n=1}^{+\iy}k^{n-1}s_n = a_1+a_2k+a_3k^2+\dots\mto_{k\uparrow 1} b. $$} \end{remark} \begin{exercise} {\rm Докажите, что радиусы сходимости рядов $\sum_{n=1}^{+\iy}r^ns_n$ и $\sum_{n=1}^{+\iy}r^na_n$ совпадают, а значит приведенное выше преобразование корректно. } \end{exercise} \setcounter{equation}{0} \section{Регулярность методов суммирования.} Естественно, что нам бы хотелось не создавать кардинально новое понятие предела, а расширять уже имеющееся. Следующее определение естественно формализует это соображение. \begin{definition} Будем говорить, что $\G$ - регулярный метод, если для каждой последовательности $\{s_n\}_{n=1}^\iy$, имеющей (конечный!) предел $\lim_{n\to\iy}s_n=b$ в классическом смысле, верно также $\lim_{n\to\iy}s_n=b\ \ (\G)$. \end{definition} \begin{theorem} \label{RegMethod} Метод $\G$, заданный семейством коэффициентов $(\g_{kn})_{k,n=1}^\iy$ регулярен, если и только если\\ (i) $\g_{kn}\to 0$ при $k\to\iy$ для каждого фиксированного $n$;\\ (ii) $\sum_{n=1}^\iy |\g_{kn}|\le H<+\iy$ для всех $k$, где $H$ не зависит от $k$;\\ (iii) $\sum_{n=1}^\iy \g_{kn} \to 1$ при $k\to\iy$. \end{theorem} \begin{remark} {\rm С незначительными изменениями, теорема (вместе со своим доказательством) остается верной и в случае непрерывного параметра $k$.} \end{remark} \begin{proof} \no $"\Leftarrow":$ Во-первых, заметим, что из (ii) следует, что все ряды $$ t_k=\sum_{n=1}^{+\infty}\g_{kn}s_n $$ сходятся (и даже абсолютно) для произвольной ограниченной (в частности, для произвольной, имеющей конечный предел) последовательности $\{s_n\}_{n=1}^\iy$. Далее, предположим, что $|s_n-b|<\ve$ для всех $n>N$. Тогда $$ t_k=b\sum_{k=1}^\iy\g_{kn} + \sum_{k=1}^N \g_{kn}(s_n\!-\!b)+ \sum_{k=N+1}^\iy \g_{kn}(s_n\!-\!b)=I + II + III. $$ Ясно, что $|III|\le H\ve$. Из (i) и (iii) следует, что $I\to b$, $II\to 0$ при $k\to\iy$ ($II$ - это конечная(!) сумма). Значит, для достаточно больших $k$ верно $|t_k-b|<(H\!+\!1)\ve$. То есть, из сходимости $s_n\to_{n\to\iy}b$ вытекает сходимость $t_k\to_{k\to\iy}b$, что и требовалось проверить. \medskip \no $"\Rightarrow":$ Для начала, покажем, что $$ H_k:=\sum_{n=1}^\iy|\g_{kn}|<+\iy $$ для каждого $k$. Пусть это не так, и $H_k=+\iy$ для какого-то $k$. Построим такую последовательность $c_n\to_{n\to\iy}0$, что ряд, определяющий $t_k$, расходится. А именно, пусть $0=n_0k_{r-1}$, что $$ H_{k_r}\ge r^2+2r+2 $$ и (поскольку таких $k_r$ должно быть бесконечно много, то можно еще что-нибудь попросить) $$ \sum_{n=1}^{n_{r-1}}|\g_{k_rn}|\le 1 $$ (такое $k_r$ найдется, поскольку эта (конечная(!)) сумма стремится к $0$ при $k_r\to+\iy$ в силу (i)). Теперь, используя конечность $H_{k_r}$, находим такое $n_{r}>n_{r-1}$, что $$ \sum_{n=n_{r}+1}^{+\iy}|\g_{k_rn}|\le 1. $$ В частности, имеем $$ \sum_{n=n_{r-1}+1}^{n_r}|\g_{k_rn}|\ge r^2+2r. $$ Теперь пусть $$ c_n=\frac{\sign \g_{k_rn}}{r},\qquad n_{r-1}+1\le n\le n_r. $$ Тогда $|c_n|\le 1$, $c_n\to 0$ при ${n\to\iy}$, но $$ t_{k_r}=\sum_{n=1}^{+\iy}\g_{k_{rn}}c_n = \sum_{n=1}^{n_{r-1}} + \sum_{n={n_{r-1}+1}}^{n_r} + \sum_{n=n_r+1}^{+\iy}\ge -1 + {r^2+2r\/r} -1 =r. $$ Таким образом, $t_{k_r}\to+\iy$, что и приводит у противоречию с регулярностью метода. \end{proof} \setcounter{equation}{0} \section{Положительные методы.} \begin{proposition} Пусть $\g_{kn}\ge 0$ для всех $k,n\ge 1$, $\g_{kn}\to_{k\to\iy} 0$ для каждого фиксированного $n$, $H_k=\sum_{n=1}^{+\iy}g_{kn}<+\iy$ для каждого фиксированного $k$ и, наконец, $H_k\to_{k\to\iy}1$. Тогда для каждой неотрицательной последовательности $s_n$ верно \[ \label{31} \ulim_{n\to\iy} s_n \le \ulim_{k\to\iy} t_k \le \olim_{k\to\iy} t_k \le \olim_{n\to\iy} s_n, \] где $t_k=\sum_{n=1}^{+\iy}\g_{kn}s_n$ (мы считаем $t_k=+\iy$, если ряд расходится). При этом неравенства верны и в том случае, если какие-то из этих пределов суть $+\iy$. \end{proposition} \begin{remark} {\rm Если все $\g_{kn}$ неотрицательны, то $\sup\sum_{n=1}^{+\iy}|\g_{nk}|=\sup H_k<+\iy$ автоматически вытекает из $H_k<+\iy$ для каждого $k$ и $H_k\to_{k\to\iy}1$. }\end{remark} \begin{proof} Повторяет доказательство достаточности в теореме \ref{RegMethod} с незначительными вариациями. Пусть $\ulim_{n\to\iy} s_n = b<+\iy$. Тогда для каждого $\ve>0$ найдется такое $N$, что для всех $n>N$ верно $s_n>b-\ve$. Заметим, что $$ t_k=(b-\ve)\sum_{n=1}^{+\iy}\g_{kn} + \sum_{n=1}^N\g_{kn}(s_n\!-\!b\!+\!\ve) + \sum_{n=N+1}^{+\iy}\g_{kn}(s_n\!-\!b\!+\!\ve)\ge $$ $$ \ge(b-\ve)\sum_{n=1}^{+\iy}\g_{kn} + \sum_{n=1}^N\g_{kn}(s_n\!-\!b\!+\!\ve) \to b-\ve,\ \ k\to\iy. $$ Значит, $\ulim_{k\to\iy}t_k\ge b-\ve$. Если $b=+\iy$, то надо заменить $b-\ve$ на произвольное положительное число. Докажем последнее неравенство в (\ref{31}) (среднее верно вообще всегда). Пусть $\olim_{n\to\iy} s_n = c<+\iy$ (если $c=+\iy$, то доказывать нечего). Тогда для каждого $\ve>0$ найдется такое $N$, что $s_nN$. Следовательно, $$ t_k=(c+\ve)\sum_{n=1}^{+\iy}\g_{kn} + \sum_{n=1}^N\g_{kn}(s_n\!-\!c\!-\!\ve) + \sum_{n=N+1}^{+\iy}\g_{kn}(s_n\!-\!c\!-\!\ve)\le $$ $$ \le(c+\ve)\sum_{n=1}^{+\iy}\g_{kn} + \sum_{n=1}^N\g_{kn}(s_n\!-\!c\!-\!\ve) \to c+\ve,\ \ k\to\iy, $$ т.е. $\olim_{k\to\iy}t_k\le c+\ve$. \end{proof} \begin{remark} {\rm В частности, из этого утверждения вытекает, что для положительного регулярного метода верно $$ s_n\to+\iy, \ {n\to\iy}\quad \Rightarrow \quad t_k\to+\iy,\ {k\to\iy} $$ (а, следовательно, то же самое верно и для $-\iy$). Это НЕ так, если не требовать положительности! Контрпример: $\g_{kn}=+2$, если $n=k$, $\g_{kn}=-1$, если $n=2k$, и $\g_{kn}=0$ во всех остальных случаях - тогда последовательность $s_n=n\to+\iy$ переходит в $t_k=0$. } \end{remark} \setcounter{equation}{0} \section{Метод Чезаро.} Начнем с простого замечания: \begin{remark} {\rm Если последовательность $s_n$ имеет предел по Чезаро (или ряд $\sum_{n=1}^\iy a_n$ суммируем по Чезаро), то $s_n=o(n)$ (или $a_n=o(n)$, соответственно). В самом деле, $$ {s_n\/n}={s_1+...+s_n\/n}-{n\!-\!1\/n}\cdot {s_1+...+s_{n-1}\/n-1} \to 0,\quad n\to\infty, $$ а $a_n=s_n-s_{n-1}$. } \end{remark} \begin{theorem}[теорема Фробениуса] Метод Абеля-Пуассона сильнее метода Чезаро. То есть: $$ \lim_{n\to\iy}s_n=b\ \ (C) \quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\iy}s_n=b\ \ (AP). $$ \end{theorem} \begin{proof} Нам необходимо вывести утверждение $$ \lim_{r\ua 1}(1\!-\!r)\sum_{n=1}^\iy r^{n-1}s_n =b $$ из того факта, что $$ A_n={s_1+...+s_n\/n}\to b,\quad n\to\iy. $$ Заметим, что $$ (1\!-\!r)\sum_{n=1}^\iy r^{n-1}s_n = (1\!-\!r)\sum_{n=1}^\iy r^{n-1}(nA_n-(n\!-\!1)A_{n-1}) = (1\!-\!r)^2\sum_{n=1}^\iy r^{n-1} nA_n $$ Но это фактически утверждение о регулярности метода суммирования с коэффициентами $\g_{nr}=(1\!-\!r)^2\cdot nr^{n-1}$, которое вытекает из теоремы \ref{RegMethod}. \end{proof} \begin{theorem}[малая тауберова теорема] \label{smallTThm} Если $\sum_{n=1}^{+\iy}a_n=b$ в смысле Чезаро и $a_n=o(n^{-1})$, то $\sum_{n=1}^{+\iy}a_n=b$ и в обычном смысле. \end{theorem} \begin{proof} Так как суммируемость ряда по Чезаро означает $$ {s_1+...+s_n\/n}= a_1 + {n\!-\!1\/n}\,a_2 + ... + {1\/n}\,a_n \to b,\quad n\to\iy, $$ мы можем переформулировать теорему следующим образом: $$ na_n\to 0,\ n\to\iy \quad \mathop{\Rightarrow}\limits^{???} \quad {1\/n}\,a_2 + {2\/n}\,a_3 + ... + {n\!-\!1\/n}\,a_n\to 0, \quad n\to\iy, $$ что вытекает из регулярности метода Чезаро для последовательности $\{(n\!-\!1)a_n\}_{n=1}^\iy$. \end{proof} \setcounter{equation}{0} \section{Метод Абеля-Пуассона.} Наша ближайшая цель - доказать аналог теоремы \ref{smallTThm} для метода Абеля-Пуассона (т.е. мы усиливаем результат, так как по теореме Фробениуса, из сходимости по Чезаро вытекает сходимость по Абелю). Чуть позже мы докажем еще более сильный результат, в котором $o$-оценка заменена на $O$-оценку, да к тому же одностороннюю. \begin{theorem}[теорема Таубера] Если $\sum_{n=1}^{+\iy}a_n\!=\!b\ (AP)$ и $a_n\!=\!o(n^{-1})$, то $\sum_{n=1}^{+\iy}a_n\!=\!b$ и в обычном смысле. \end{theorem} \begin{proof} Нам надо доказать, что $s_N=\sum_{n=1}^Na_n\to b$, $n\to\iy$. При этом, по определению метода суммирования $(AP)$, верно $$ f(r)=\sum_{n\ge 1}a_nr^n=r\sum_{n\ge 1}a_nr^{n-1} \to b,\quad r\uparrow 1. $$ Заметим, что $$ s_N-f(r)=\sum_{n=1}^N (1-r^n)a_n - \sum_{n=N+1}^{+\iy}r^na_n. $$ Тривиальное неравенство $1\!-\!r^n\le n(1\!-\!r)$ дает $$ |s_N-f(r)|\le (1\!-\!r)\sum_{n=1}^N|na_n| + {1\/N}\sum_{n=N+1}^{+\iy}|na_n|r^n $$ Введем обозначение $\d_N=\max_{n>N}|na_n|$ (по условию, $\d_N\da 0$, $N\to\iy$). Тогда: $$ |s_N-f(r)|\le N(1\!-\!r)\d_0 + {\d_N\/N(1\!-\!r)}\,. $$ Оптимизируем теперь оценку по $r$, а именно возьмем такое $r_N$, что $N(1\!-\!r_N)=\sqrt{\d_N\big/\d_0}$ ($r_N\ua 1$, т.к. $\d_N\da 0$): $$ |s_N-f(r_N)|\le 2\sqrt{\d_0\d_N}\to 0,\quad N\to\infty. $$ Переходя к пределу при $N\to\iy$, получаем утверждение теоремы. \end{proof} \begin{theorem}[тауберова теорема Харди-Литтлвуда] \ Если $\sum_{n=1}^{+\iy}a_n\!=\!b\ (AP)$ и $a_n\!\le\!{Cn^{-1}}$, то $\sum_{n=1}^{+\iy}a_n\!=\!b$ и в обычном смысле. \end{theorem} \begin{proof} Введем класс функций $$ \Y= \left\{f:[0,1]\to\R : \lim_{r\ua 1}\sum_{n\ge 1}a_nf(r^n)=b \right\} $$ (в частности, мы требуем, чтобы ряд $\sum_{n\ge 1}a_nf(r^n)$ сходился при $r<1$). Заметим, что\\ а) $x\in\Y$ (определение суммируемости по $(AP)$);\\ б) $x^k\in\Y$ для любой степени $k\in\N$ (так как $\sum_{n\ge 1}a_n(r^n)^k=\sum_{n\ge 1}a_n(r^k)^n$ и $r^k\ua 1$);\\ в) $P(x)\in\Y$ для любого многочлена $P\in\R[x]$, такого что $P(0)=0$ (линейность $\Y$). \pagebreak Положим $$ \x(x)\equiv \cases{0, & $x\in[0,{1\/2})$, \cr 1, & $x\in[{1\/2},1]$.} $$ Нам надо доказать $\x\in\Y$, поскольку $$ \sum_{n\ge 1}a_n\x(r^n)= \sum_{n=1}^{[{\log x/\log 2}]}a_n. $$ Стратегия доказательства прозрачна - приблизим $\x$ многочленами (которые попадают в $\Y$) и докажем, что отсюда вытекает $\x\in\Y$. К сожалению, есть две сложности: а) функция $\x$ разрывна; б) a priori совершенно неясно, почему класс $\Y$ замкнут относительно какого бы то ни было предельного перехода. Мы начнем с преодоления второй: \begin{lemma} Предположим, что для каждого $\ve>0$ найдутся такие $P_1,P_2\in\R[x]$, что\\ (i) $P_1(0)=P_2(0)=0$, $P_1(1)=P_2(1)=1$; (ii) $P_1(x)\le\x(x)\le P_2(x)$ для всех $x\in[0,1]$;\\ (iii) $$\int_0^1 \frac{P_2(x)-P_1(x)}{x(1\!-\!x)}\,dx<\ve. $$ Тогда $\x\in\Y$. \end{lemma} \begin{proof} Пусть $Q(x)\equiv (P_2(x)\!-\!P_1(x))\big/x(1\!-\!x)$ (заметим, что $Q\in\R[x]$). Легко видеть, что $$ \sum_{n\ge 1}a_n\x(r^n)-\sum_{n\ge 1}a_n P_1(r^n) = \sum_{n\ge 1}a_n(\x(r^n)-P_1(r^n))\le C\sum_{n\ge 1}{\x(r^n)-P_1(r^n)\/n} \le $$ $$ \le C\sum_{n\ge 1}{P_2(r^n)-P_1(r^n)\/n} = C\sum_{n\ge 1}{r^n(1\!-\!r^n)\/n}\,Q(r^n) \le C\sum_{n\ge 1}r^n(1\!-\!r)\cdot Q(r^n) $$ и, аналогично, $$ \sum_{n\ge 1}a_n P_2(r^n)-\sum_{n\ge 1}a_n \x(r^n)\le C\sum_{n\ge 1}r^n(1\!-\!r)\cdot Q(r^n). $$ В то же время\begin{footnote}{Для многочленов это может быть проверено непосредственным вычислением, однако сходимость таких, бесконечных(!), интегральных сумм к интегралу, конечно, имеет место для любой (равномерно) непрерывной функции на $[0,1]$.}\end{footnote}, $$ \sum_{n\ge 1}r^n(1\!-\!r)\cdot Q(r^n)=r\sum_{n\ge 1}(r^{n-1}\!-\!r^n)\cdot Q(r^n)\mathop{\to}\limits_{r\ua 1} \int_0^1Q(x)dx < \ve. $$ Переходя к пределу при $r\ua 1$ и используя $P_1,P_2\in\Y$, получаем $$ b-\ve\le{\ulim}_{r\ua 1}\sum_{n\ge 1}a_n\x(r^n)\le{\olim}_{r\ua 1}\sum_{n\ge 1}a_n\x(r^n) \le b+\ve. $$ В силу произвольности выбора $\ve$, это дает $\lim_{r\ua 1}\sum_{n\ge 1}a_n\x(r^n)=b$, т.е. $\x\in\Y$. \end{proof} Теперь наша задача - научиться аппроксимировать $\x$ так, чтобы выполнялись все условия леммы. Рассмотрим функцию $$ \z(x)\equiv {\x(x)-x\/x(1-x)} $$ и будем ее аппроксимировать многочленами. К сожалению, у $\z$ есть разрыв в точке ${1\/2}$, поэтому напрямую применить теорему\begin{footnote}{Для каждой непрерывной на отрезке $[a,b]$ функции $f(x)$ и каждого $\ve>0$ найдется такой многочлен $P(x)$, что $\max_{x\in[a,b]}|f(x)-P(x)|<\ve$. }\end{footnote} Вейерштрасса невозможно. Однако ясно, что существует такая {\it непрерывная} функция $\z_*(x)\le\z(x)$, $x\in [0,1]$, что $$ \int_0^1(\z(x)-\z_*(x))dx\le \ve. $$ Применяя теорему Вейерштрасса к $\z_*\!-\ve$, можно найти такой многочлен $P_*\!\in\!\R[x]$, что $\z_*-2\ve\le P_* \le \z_*$. Тогда $P_*\le \z$ и $$ \int_0^1 (\z(x)-P_*(x))dx\le \int_0^1 (\z(x)-\z_*(x)+2\ve)dx \le 3\ve. $$ Аналогично можно построить такой многочлен $P^*\in\R[x]$, что $\z\le P^*$ и $$ \int_0^1 (P^*(x)-\z(x))dx\le 3\ve. $$ Полагая теперь $P_1(x):=x+x(1\!-\!x)P_*(x)$, $P_2(x):=x+x(1\!-\!x)P^*(x)$, получаем требуемое приближение функции $\x(x)$: $$ P_1\le\x\le P_2,\qquad \int_0^1{P_2(x)-P_1(x)\/x(1-x)}\,dx = \int_0^1 (P^*(x)-P_*(x))dx \le 6\ve, $$ после чего применение леммы дает $\x\in\Y$. \end{proof} \newpage \begin{center} {\LARGE \bf II. Гамма, бэта, дзэта и прочее.} \end{center} \setcounter{section}{0} \setcounter{equation}{0} Предварительное замечание: мы {\it определяем} функции $e^w$ и $\log(1+w)$ для комплексных значений $w$ равенствами: $$ e^w=1+w+{w^2\/2}+{w^3\/6}+\dots,\quad w\in\C, $$ $$ \log(1+w)=w-{w^2\/2}+{w^3\/3}-{w^4\/4}+\dots,\quad |w|<1. $$ При таком подходе {\it надо проверить}, что $e^{\log(1+w)}=1+w$, $|w|<1$. Мы не будем останавливаться на этом моменте подробно, ограничившись следующим замечанием: данное тождество верно для вещественных значений $x$, а значит получающийся в левой части степенной ряд совпадает с $1+w$. Функция $\sin w$, $w\in\C$, определяется как $$ \sin w={e^{iw}-e^{-iw}\/2i}=w-{w^3\/6}+{w^5\/120}-\dots. $$ \section{Определение гамма-функции.} \begin{definition} Для $z\in\C$, таких что $\Re z>0$, положим \[ \label{GammaDef} \G(z):=\int_0^{+\iy}t^{z-1}e^{-t}dt. \] \end{definition} \begin{remark} {\rm Значение $t^{z-1}=e^{(z-1)\log t}$ корректно определено для комплексных $z$ и, кроме того, $$ |\Gamma(z)|\le \int_0^{+\infty}|t^{z-1}|e^{-t}dt = \int_0^{+\infty}t^{\Re z-1}e^{-t}dt= \Gamma(\Re z)<+\infty\,,\quad \Re z\!>\!0\,. $$ В частности, интеграл в (\ref{GammaDef}) сходится. } \end{remark} \begin{lemma} i) Для $\Re z\!>\!0$ верно тождество $z\Gamma(z)\!=\!\Gamma(z\!+\!1)$.\\ ii) Для $\Re z\!>\!0$ справедливо представление \[ \label{GammaDef1} \Gamma(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(z\!+\!n)}+ \int_1^{+\infty}\!\!t^{z-1}e^{-t}dt\,. \] \end{lemma} \begin{remark} {\rm Очевидное преимущество (\ref{GammaDef1}) по сравнению с (\ref{GammaDef}) в том, что ряд равномерно сходится на любом компакте, не содержащем отрицательных целых точек, а интеграл сходится равномерно на любом ограниченном множестве.} \end{remark} \begin{proof} i) Интегрирование по частям: $$ \Gamma(z\!+\!1)=\int_0^{+\infty}\!\!t^ze^{-t}dt=-t^ze^{-t}\Big|_0^{+\infty}+ z\int_0^{+\infty}\!\!t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma(z)\,. $$ ii) Легко видеть, что $$ \int_0^1\!t^{z-1}e^{-t}dt=\int_0^1\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nt^{z-1+n}}{n!}\,dt =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(z\!+\!n)}\,. $$ \end{proof} \begin{definition} Для $z\ne 0,-1,-2,\dots$ определим $\Gamma(z)$ по формуле (\ref{GammaDef1}). \end{definition} \begin{lemma} Основное тождество $z\G(z)\!=\!\G(z\!+\!1)$ справедливо при всех $z\ne 0,-1,\dots$ \end{lemma} \begin{remark} {\rm Вообще-то $z\G(z)$ и $\G(z\!+\!1)$ суть две аналитические в $\C\setminus\{0,-1,-2,\dots\}$ функции, поэтому из их совпадения при $\Re z>0$ автоматически вытекает совпадение при всех $z$, однако мы еще не знаем ТФКП, чтобы так рассуждать.} \end{remark} \begin{proof} Проверим "в лоб": $$ \G(z\!+\!1)-z\G(z) = \sum_{n=0}^{+\iy} \frac{(-1)^n}{n!(z\!+\!n\!+\!1)} - z\sum_{n=0}^{+\iy}\frac{(-1)^n}{n!(z\!+\!n)} + \int_1^{+\iy}\!t^ze^{-t}dt - z\int_1^{+\iy}\!t^{z-1}e^{-t}dt = $$ $$ = \sum_{n=1}^{+\iy} \frac{(-1)^{n-1}}{(n\!-\!1)!(z\!+\!n)} - z\sum_{n=0}^{+\iy}\frac{(-1)^n}{n!(z\!+\!n)} - t^ze^{-t}\Big|_1^{+\iy} = $$ $$ = \sum_{n=1}^{+\iy} {(-1)^{n-1}\/(n\!-\!1)!(z\!+\!n)}\lt(1+{z\/n}\rt) -1 + {1\/e} = - \sum_{n=0}^{+\iy} {(-1)^{n}\/n!} + {1\/e} =0. $$ \end{proof} \begin{theorem}[Формула Эйлера] \label{*GammaEuler} Для всех $z \ne 0,-1,\dots$ верно $$ \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot n^z}{z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}\,. $$ \end{theorem} \begin{proof} Ясно, что если формула справедлива для какого-то $z$, то она автоматически выполняется и для $z\!-\!1$, поскольку мы можем воспользоваться основным тождеством: $$ \G(z\!-\!1)={\G(z)\/z-1}= \lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot n^z}{(z\!-\!1)z\dots(z\!+\!n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot n^{z-1}}{(z\!-\!1)z\dots(z\!+\!n\!-\!1)}\,. $$ Поэтому, достаточно рассматривать только $\Re z\!>\!0$\,. Вычислим интеграл $$ I_n(z):=\int_0^n t^{z-1}\biggl(1\!-\!\frac{t}{n}\biggr)^ndt\,, $$ а потом оценим разность $e^{-t}-(1-\frac{t}{n})^n$. После замены переменной и многократного интегрирования по частям имеем $$ I_n(z)=n^z\int_0^1\tau^{z-1}(1\!-\!\tau)^nd\tau = n^z\cdot \frac{n}{z}\int_0^1\tau^z(1\!-\!\tau)^{n-1}d\tau =\dots = \frac{n!\cdot n^z}{z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}\,. $$ Таким образом, осталось доказать, что $I_n(z)\!\to\!\Gamma(z)$ при $n\!\to\!\infty$\,. Так как для всех $t\!\in\!\R$, $|t|\!\le\! n$ верно $e^t\!\ge\!(1\!+\!\frac{t}{n})^n$, видим $$ 0\le e^{-t}-\biggl(1\!-\!\frac{t}{n}\biggr)^n= e^{-t}\left(1-e^t\biggl(1\!-\!\frac{t}{n}\biggr)^n\right)\le e^{-t}\left(1\!-\!\biggl(1\!-\!\frac{t^2}{n^2}\biggr)^n\right)\le \frac{t^2e^{-t}}{n}\,. $$ Отсюда $$ \biggl|I_n(z)-\int_0^n t^{z-1}e^{-t}dt\biggr|\le \frac{1}{n}\int_0^n|t^{z+1}|e^{-t}dt\le \frac{1}{n}\,\Gamma(\Re z \!+\! 2)\to 0\,,\quad n\!\to\!\infty\,. $$ Наконец, $\int_n^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}\!\to\!0$\,, поскольку интеграл сходится. \end{proof} \begin{corollary}[разложение $\bf\G(z)$ в бесконечное произведение] Справедливо тождество \[ \label{G=Prod} \frac{1}{\Gamma(z)} = e^{cz}\cdot z\prod_{k=1}^{+\infty}\biggl(1\!+\!\frac{z}{k}\biggr)e^{-\frac{z}{k}}\,,\quad z\in\C\setminus\{0,-1,-2,\dots\}, \] где $c\!=\!\lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)=0.57...$. \end{corollary} \begin{remark} {\rm (i) Так как $$ \lt(1\!+\!\frac{z}{k}\rt)e^{-\frac{z}{k}} = \lt(1\!+\!\frac{z}{k}\rt)\lt(1\!-\!{z\/k}\!+\!{z^2\/k^2}\!-\dots\rt) = 1+O\lt({1\/k^2}\rt), \quad k\to+\iy, $$ бесконечное произведение равномерно сходится на компактах. В частности, функция $\G(z)$ не имеет нулей на комплексной плоскости. \no (ii) В соответствии с (\ref{G=Prod}), мы можем {\it доопределить} $1/\G(z)$ нулем в точках $z\!=\!0,\!-1,\!-2,..$, и это будет непрерывное(!) продолжение. \no (iii) Нетрудно заметить аналогию с основной теоремой алгебры - также, как в ОТА мы раскладываем многочлен на произведение линейных сомножителей, каждый из которых отвечает своему корню, в (\ref{G=Prod}) мы раскладываем функцию $1\big/\G(z)$ (заданную во всей комплексной плоскости) на произведение сомножителей, отвечающих ее корням. При этом регуляризующие множители $e^{-{z\/k}}$ добавляются исключительно для того, чтобы обеспечить сходимость произведения.}\end{remark} \begin{proof} Заметим, что $$ \left(\frac{n!\cdot n^z}{z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}\right)^{\!-1} = e^{-z\log n}\cdot z\prod_{k=1}^n\biggl(1\!+\!\frac{z}{k}\biggr) = e^{z(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\,-\,\log n)}\cdot z\prod_{k=1}^{n}\biggl(1\!+\!\frac{z}{k}\biggr)e^{-\frac{z}{k}}\,. $$ Осталось применить формулу Эйлера. \end{proof} \setcounter{equation}{0} \section{Разложение $\bf sin(z)$ в бесконечное произведение.} \begin{theorem} Для всех $z\in\C$ справедливо разложение \[ \label{Sin=Prod} \sin z = z\prod_{n=1}^{+\iy}\lt(1-{z^2\/\pi^2n^2}\rt). \] \end{theorem} \begin{remark} {\rm Идеология этого разложения такая же, как и в (\ref{G=Prod}) - мы раскладываем заданную в $\C$ функцию на линейные сомножители, отвечающие ее корням. При этом из-за симметрии корней мы не нуждаемся в регуляризующих множителях $e^{\pm {z\/\pi n}}$. } \end{remark} \begin{proof} Из формулы Муавра легко вывести, что для каждого $n\in\N$ справедливо тождество $$ \sin (2n\!+\!1)w = \sin w\cdot P_n(\sin^2 w), $$ где многочлен $P_n\in\R[x]$ и $\deg P_n =n$. Угадаем вид $P_n$. Для каждого $k=1,...,n$ должно выполняться $P_n(\sin^2{\pi k\/2n+1})=0$. Следовательно, $$ P_n(x)= A\cdot\prod_{k=1}^n\lt(1-{x\/\sin^2{\pi k\/2n+1}}\rt) $$ для некоторой константы $A\in\R$. Так как $\sin(2n\!+\!1)w\sim (2n\!+\!1)w\sim (2n\!+\!1)\sin w$, $w\to 0$, должно быть $A=P_n(0)=2n\!+\!1$. Подставляя $z=(2n\!+\!1)w$, получаем тождество $$ \sin z = (2n\!+\!1)\sin{z\/2n\!+\!1}\cdot \prod_{k=1}^n \left(1-{\sin^2 {z\/2n+1}\/\sin^2{\pi k\/2n+1}}\right). $$ Теперь мы бы хотели перейти к пределу при $n\to+\iy$ (уже видно, что каждый из сомножителей сходится к соответствующему сомножителю в формуле (\ref{Sin=Prod})). Однако, это надо делать аккуратно. Для $m|z|$. Функция $|{\sin w\/w}|$ непрерывна в круге $\{w:|w|\le{1\/2}\}$, а значит достигает там максимума, который мы обозначим $C_1$ - это некоторая абсолютная константа. Таким образом, $$ \lt|\,\sin^2 {z\/2n\!+\!1}\rt|\le C_1\cdot {|z|^2\/(2n\!+\!1)^2} $$ С другой стороны, $\sin\phi\ge {2\/\pi}\,\phi$ для $\phi\in[0,{\phi\/2}]$, откуда $$ \left|{\sin^2 {z\/2n\!+\!1}\/\sin^2{\pi k\/2n+1}}\right|\le {4C_1\/\pi^2}\cdot {|z|^2\/k^2},\qquad k=m\!+\!1,...,n. $$ Опять-таки, не умаляя общности будем считать, что $m$ достаточно велико и правая часть не превосходит ${1\/2}$. Функция $|{\log (1-w)\/w}|$ непрерывна в круге $\{w:|w|\le{1\/2}\}$, а значит достигает там максимума $C_2$ - это еще одна абсолютная константа. Имеем $$ \left|\log\lt(1-{\sin^2 {z\/2n\!+\!1}\/\sin^2{\pi k\/2n+1}}\rt)\right|\le {4C_1C_2\/\pi^2}\cdot {|z|^2\/k^2},\qquad k=m\!+\!1,...,n. $$ Пусть $\ve>0$. Выберем теперь такое $m$, что ${4C_1C_2\/\pi^2}\sum_{k=m+1}^{+\iy}{|z|^2\/k^2}<\ve$. Тогда\begin{footnote}{В частности, все аргументы логарифмов находятся внутри круга $\{z=1+w,|w|<{1\/2}\}$, где применение формулы $\log (z_1z_2)=\log z_1 +\log z_2$ законно без дополнительных комментариев. }\end{footnote}: $$ |\log V_n^{(m)}|=\left|\sum_{k=m+1}^n\log\lt(1-{\sin^2 {z\/2n\!+\!1}\/\sin^2{\pi k\/2n+1}}\rt)\right|\le {4C_1C_2\/\pi^2}\cdot \sum_{k=m+1}^n{|z|^2\/k^2} \le \ve $$ Переходя к пределу в этом неравенстве сначала по $n\to+\iy$, а потом по $m\to+\iy$, получаем $|\log V_*|\le \ve$. Устремляя, наконец, $\ve\da 0$, имеем $V_*=1$. \end{proof} \begin{corollary}[формула дополнения для $\bf\G$-функции] Верно тождество $$ {1\/\G(z)\G(1\!-\!z)}={\sin \pi z\/z},\quad z\in\C. $$ \end{corollary} \begin{proof} Используя (\ref{G=Prod}) и (\ref{Sin=Prod}), легко находим $$ {1\/\G(z)\G(1\!-\!z)}= -{1\/z}\cdot {1\/\G(z)\G(-z)} = % -{1\/z}\cdot z^2\prod_{k=1}^{+\iy}\lt(1-{z^2\/k^2}\rt)= z\prod_{k=1}^{+\iy}\lt(1-{z^2\/k^2}\rt) = {\sin \pi z\/ \pi }\,. $$ \end{proof} \begin{remark} {\rm В частности, $\G({1\/2})=\sqrt\pi$. Отсюда легко получить, что $$ \int_{-\iy}^{+\iy}{e^{-{(t-\mu)^2\/2\sigma}}\/\sigma\sqrt{2\pi}}\,dt=\ [(t-\mu)^2\!=\!2\sigma^2 s]\ = {1\/\sqrt{\pi}}\int_0^{+\iy}s^{-{1\/2}}e^{-s}ds = 1 $$ (график подынтегральной функции -- плотности распределения гауссовской случайной величины со средним $\mu$ и дисперсией $\sigma$ -- был раньше изображен на купюре в 10 немецких марок рядом с портретом Карла Фридриха Гаусса). }\end{remark} \setcounter{equation}{0} \section{Бэта-функция, формула Лежандра.} \begin{definition} Для $z,w\in\C$: $\Re z, \Re w > 0$ положим \[ \label{BetaDef} \B(z,w):=\int_0^1 t^{z-1}(1\!-\!t)^{w-1}dt. \] \end{definition} \begin{remark} {\rm Интеграл сходится, поскольку $|t^{z-1}(1\!-\!t)^{w-1}|=t^{\Re z - 1}(1\!-\!t)^{\Re w - 1}$.} \end{remark} \begin{theorem} \[ \label{B=GG/G} \B(z,w)={\G(z)\G(w)\/\G(z+w)}\,,\qquad \Re z, \Re w >0. \] \end{theorem} \begin{proof} Заметим, что $$ G(z)G(w)=\int_0^{+\iy}t^{z-1}e^{-t}dt\,\cdot \int_0^{+\iy}s^{w-1}e^{-s}ds= $$ $$ =\int_0^{+\iy}t^{z-1}e^{-t}\left[\int_0^{+\iy}s^{z-1}e^{-s}ds\right]dt= \int_0^{+\iy}\left[\int_0^{+\iy}t^{z-1}s^{w-1}e^{-t-s}ds\right]dt= $$ $$ =[u=s+t]=\int_0^{+\iy}\left[\int_t^{+\iy}t^{z-1}(u-t)^{w-1}e^{-u}du\right]dt= $$ Поменяем\begin{footnote}{Процедура изменения порядка интегрирования интуитивно ясна, поскольку интегралы - это пределы сумм, а суммы можно менять местами, однако этот факт (тем более для несобственных интегралов) необходимо(!!!) строго доказывать, чего мы, однако, здесь делать не будем - см. общий курс. }\end{footnote}(!) порядок интегрирования (область изменения переменных $0\!\le\!t\!\le\!u\!<\!+\iy$): $$ = \int_0^{+\iy}\left[\int_0^t t^{z-1}(u-t)^{w-1}e^{-u}dt\right]du=[t=uv]= $$ $$ =\int_0^{+\iy} u^{z+w-1}e^{-u}\left[\int_0^1 v^{z-1}(1-v)^{w-1}dv\right]du= \G(z\!+\!w\!-\!1)\cdot B(z,w), $$ что и требовалось доказать. \end{proof} \begin{corollary}[формула удвоения для $\bf \G(z)$, она же формула Лежандра] \[ \label{G(2z)=} \G(2z)={2^{2z-1}\/\sqrt{\pi}}\,\G(z)\G(z\!+\!{\textstyle{1\/2}}),\qquad \Re z>0. \] \end{corollary} \begin{proof} Заметим, что $$ \B(z,z)=\int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{z-1}dt = %\int_0^1 (t-t^2)^{z-1}dt = 2\int_0^{1/2} (t-t^2)^{z-1}dt =2\int_0^{1\/2}({\textstyle{1\/4}}-({\textstyle{1\/2}}-t)^2)^{z-1}dt= $$ $$ =[({\textstyle{1\/2}}\!-\!t)^2={\textstyle{1\/4}}\,s] = 2^{1-2z}\int_0^1 (1\!-\!s)^{z-1}s^{-{1\/2}}ds = 2^{1-2z}\B(z,{\textstyle{1\/2}}). $$ Выражая $\B$-функцию через $\G$, получаем $$ {\G(z)\G(z)\/\G(2z)}= {2^{1-2z}\G(z)\G({1\/2})\/\G(z+{1\/2})}\,, $$ что равносильно (\ref{G(2z)=}), так как $\G({1\/2})=\sqrt{\pi}$. \end{proof} \begin{remark} {\rm Формула удвоения является частным случаем теоремы Гаусса: $$ \G(nz)={n^{nz-{1\/2}}\/(2\pi)^{{n-1\/2}}}\, \G(z)\G\lt(z\!+\!{1\/n}\rt)\dots\G\lt(z\!+\!{n\!-\!1\/n}\rt), $$ справедливой при всех $n\in\N$ и $z\ne 0,-{1\/n},-{2\/n},\dots$} \end{remark} \setcounter{equation}{0} \section{Формула Стирлинга. Главное слагаемое.} \begin{lemma}[формула суммирования Эйлера-Маклорена] \label{*EulerMcLoren} Пусть $f\!\in\!C^1([a,b])$, $a,b\in\Z$. Тогда $$ \sum_{k=a}^b f(k)-\int_a^b\! f(t)dt= \frac{f(a)\!+\!f(b)}{2}+\int_a^b\! \left(\{t\}\!-\!{\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)f'(t) dt\,. $$ \end{lemma} \begin{proof} Легко видеть, что интегрирование по частям дает $$ \int_{k}^{k+1}\!f'(t)\left(\{t\}\!-\!{\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)dt = f(t)\left(\{t\}\!-\!{\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)\Big|_k^{k+1}-\int_k^{k+1}\!f(t)dt = \frac{f(k)\!+\!f(k\!+\!1)}{2}-\int_k^{k+1}f(t)dt\,. $$ Суммируя по $k$, получаем требуемое равенство. \end{proof} \begin{theorem}[формула Стирлинга] Для каждого $\varepsilon\!>\!0$ асимптотика $$ \Gamma(z)=\exp\left[ \biggl(z\!-\!{\frac{1}{2}}\biggr)\log z - z +\frac{1}{2}\,\log 2\pi +O(z^{-1})\right]\,,\quad z\!\to\!\infty\,, $$ выполняется равномерно в угле $\arg z\!\in\![-\pi\!+\!\varepsilon,\pi\!-\!\varepsilon]$\,. \end{theorem} \begin{remark} {\rm i) Здесь $\log z = \log |z| + i\arg z$, и значение $\arg z$ выбирается так, что $|\arg z|<\pi\! - \!\ve$. Используя тождество $e^{\log z} = z$, легко вывести стандартную формулу для производной $(\log z)'=z^{-1}$.\\ ii) Для $x\in\R_+$ при помощи несложного тождественного преобразования получаем $$ \Gamma(x)=\sqrt{\frac{2\pi}{x}}\cdot\biggl(\frac{x}{e}\biggr)^x(1\!+\!O(x^{-1}))\,,\quad x\!\to\!+\infty\,. $$} \end{remark} \begin{proof} Будем использовать формулу Эйлера (Теорема \ref{*GammaEuler}). Заметим, что $$ {n!\cdot n^z\/z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}= \exp\left[-\sum_{k=0}^n\log(z\!+\!k)+ \sum_{k=1}^n\log k + z\log n \right]. $$ Лемма \ref{*EulerMcLoren} дает $$ \sum_{k=0}^n\log(z\!+\!k)=\int_0^n\!\log(z\!+\!t)dt + \frac{\log z\!+\!\log (z\!+\!n)}{2}+\underbrace{\int_0^n\frac{\{t\}-\frac{1}{2}}{z\!+\!t}\,dt}_{I_n(z)}= $$ $$ =t(\log t\!-\!1)\Big|_z^{z+n}+\frac{\log z\!+\!\log (z\!+\!n)}{2}+I_n(z)= (z\!+\!n\!+\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log(z\!+\!n)-(z\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log z - n + I_n(z)\,. $$ Подставляя сюда $z\!=\!1$ и вычитая "лишнее"\ слагаемое $\log(n\!+\!1)$ имеем $$ \sum_{k=1}^n\log k = (n\!+\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log(n\!+\!1) - n + I_n(1)\,. $$ Значит, $$ -\sum_{k=0}^n\log(z\!+\!k)+ \sum_{k=1}^n\log k + z\log n = (z\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log z - z\log\frac{z\!+\!n}{n}- (n\!+\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log\frac{z\!+\!n}{n\!+\!1}-I_n(z)+I_n(1)\,. $$ Устремляя $n\!\to\!\infty$\,, получаем $$ \Gamma(z)=\exp\left[(z\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log z -(z\!-\!1)-I(z)+I(1)\right], $$ где $$ I(z)=\int_0^{+\infty}\frac{\{t\}-\frac{1}{2}}{z\!+\!t}\,dt $$ (несобственный интеграл сходится по признаку Дирихле). Интегрируя по частям, получаем $$ I(z)=\int_0^{+\infty}\frac{\varphi(t)dt}{(z\!+\!t)^2}\,,\qquad \varphi(t):=\int_0^t(\{s\}\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})ds=\frac{1}{2}\,\{t\}(\{t\}\!-\!1)\,. $$ Так как $\vp(t)$ - ограниченная функция, отсюда несложно получить оценку $I(z)\!=\!O(z^{-1})$ (равномерную в произвольном угле $\arg z\!\in\![-\pi\!+\!\varepsilon,\pi\!+\!\varepsilon]$). Именно, если $z\!=\!x\!+\!iy$\,, то $$ |I(z)|\le \int_0^{+\infty}\!\!\frac{dt}{|z\!+\!t|^2}= \int_0^{+\infty}\!\!\frac{dt}{(x\!+\!t)^2\!+\!y^2}\le \cases{\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(x+t)^2}=\frac{1}{x}\,, & $x\!>\!0$\,, \cr \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{t^2+y^2}=\frac{\pi}{|y|}\,, & $|y|\!\ne\!0$\,.} $$ Первая оценка работает в секторе $\arg z\!\in\![-\varepsilon,\varepsilon]$, а вторая - в оставшейся области. Итак, $$ \G(z)=\exp\left[ \biggl(z\!-\!{\frac{1}{2}}\biggr)\log z - z + A + O(z^{-1})\right]\,,\quad z\!\to\!\infty\,, $$ и все что осталось - вычислить константу $A=1+I(1)$. Для $y\to+\iy$ рассмотрим тождество $$ \G(iy)\G(-iy)= - {\G(iy)\G(1\!-\!iy)\/iy} = - {\pi\/ iy \sin \pi iy} = {2\pi \/ y(e^{\pi y} - e^{-\pi y})}= $$ $$ =\exp\left[ -\pi y - \log y + \log 2\pi + o(1)\right],\qquad y\to+\iy. $$ С другой стороны, $$ \G(iy)\G(-iy)= \exp \left[ (iy\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log iy + (-iy\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log (-iy) + 2A + o(1) \right] = $$ $$ = \exp \left[ \left(iy\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}}\right) \left (\log y \!+\! {\textstyle {\pi i\/2}}\right) + \left(-iy\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}}\right) \left (\log y \! - \! {\textstyle {\pi i\/2}}\right) + 2A + o(1) \right]= $$ $$ =\exp\left[ -\pi y - \log y + 2A + o(1)\right],\qquad y\to+\iy. $$ Следовательно, $A=\frac{1}{2}\,\log 2\pi$\,, что и требовалось доказать. \end{proof} \setcounter{equation}{0} \section{Числа и полиномы Бернулли.} Чтобы понять смысл конструкций, которыми мы будем заниматься в этом параграфе, вспомним тождество, полученное при доказательстве формулы Стирлинга: $$ \G(z)=\exp\left[ \biggl(z\!-\!{\frac{1}{2}}\biggr)\log z - z + {1\/2}\log 2\pi - I(z) \right]\,, $$ где $$ I(z) = \int_0^{+\iy}{\{t\}-{1\/2}\/z+t}\,dt = \int_0^{+\iy}{\vp(t)\/(z+t)^2}\,dt=O(z^{-1}), \qquad \vp(t)={1\/2}\,\{t\}(\{t\}-{1\/2}). $$ Предположим, мы хотим уточнять асимптотику $\G(z)$, или, что то же самое, асимптотику интеграла $I(z)$. Естественная идея -- еще раз проинтегрировать по частям. Однако нам будет мешать то обстоятельство, что первообразная функция $\vp$ неограничена, поскольку $\int_0^1\vp(t)dt\ne 0$. Поэтому мы немного модифицируем $\vp$. Именно, построим последовательность функций $$ \o_0(t)=1;\qquad \o_1(t)=\{t\}-{1\/2}; $$ $$ \o_{k+1}(t)=\o_{k+1}\left(\{t\}\right):\ \ \o_{k+1}'(t)=\o_k(t),\ t\in (0,1),\ \ \int_0^1\o_{k+1}(t)dt=0. $$ Первые несколько функций $\o_k(t)$ будут иметь вид: $$ \o_2(t)={\{t\}^2\/2}-{\{t\}\/2}+{1\/12};\qquad \o_3(t)={\{t\}^3\/6}-{\{t\}^2\/4}+{\{t\}\/12}; $$ $$ \o_4(t)={\{t\}^4\/24}-{\{t\}^3\/12}+{\{t\}^2\/24}-{1\/720};\qquad\dots $$ Ясно, что $\o_k$ является полиномом степени $k$ от $\{t\}$ со старшим коэффициентом ${1\/k!}$\,. \begin{definition} Полиномом Бернулли $B_k(t)$ называется такой полином степени $k$ со старшим коэффициентом $1$, что $\o_k(t)={1\/k!}\,B_k(\{t\})$. Числом Бернулли $B_k$ называется значение этого полинома при $t=0$, т.е. $B_k=B_k(0)$. \end{definition} \begin{remark}. {\rm (i) Таким образом, $B_0=1$, $B_1=-{1\/2}$, $B_2={1\/6}$, $B_3=0$, $B_4=-{1\/30}$,...\\ (ii) Кажется, что числа Бернулли убывают или хотя бы ограничены, однако это не так.} \end{remark} \begin{lemma} \label{*OmegaEStim} Справедливо неравенство $|\o_k(t)|\le {1\/2^k}$. В частности, $|B_k|\le {k!\/2^k}$. \end{lemma} \begin{proof} Ясно, что достаточно доказать неравенство для $t\in[0,1]$. По определению функции $\o_{k+1}$ имеем \[ \label{xOk+1=} \o_{k+1}(t)=\int_0^t\o_k(s)ds-\int_0^1\left[\int_0^t\o_k(s)ds\right]dt. \] Поменяем порядок интегрирования во втором интеграле (область изменения переменных $0\!\le\!s\!\le\!t\!\le\!1$): $$ \int_0^1\left[\int_0^t\o_k(s)ds\right]dt = \int_0^1\left[\int_s^1\o_k(s)dt\right]ds = \int_0^1(1\!-\!s)\o_k(s)ds. $$ Обозначая характеристическую функцию промежутка $[0,t]$ через $\c_{[0,t]}$, получаем $$ \o_{k+1}(t)=\int_0^1(\c_{[0,t]}(s)\!-\!1\!+\!s)\o_k(s)ds = \int_0^1(\c_{[0,t]}(s)\!-\!{\textstyle{1\/2}}\!-\!t\!+\!s)\o_k(s)ds, $$ поскольку $\int_0^1\o_k(s)ds=0$. Заметим теперь, что $\max_{s\in[0,1]}|\c_{[0,t]}(s)\!-\!{\textstyle{1\/2}}\!-\!t\!+\!s|={1\/2}$, откуда сразу вытекает неравенство $$ \max_{t\in[0,1]}|\o_{k+1}(t)|\le {1\/2}\max_{s\in[0,1]}|\o_k(s)|. $$ Тривиальная индукция завершает доказательство. \end{proof} Наша ближайшая цель - найти производящую функцию для полиномов Бернулли. \begin{lemma} Для $t\in[0,1)$ и $z:|z|<2$ справедливо тождество $$ \sum_{n=0}^{+\iy}{B_n(t)\/n!}\,z^n = {te^{zt}\/e^t-1}. $$ \end{lemma} \begin{proof} Отметим, что ряд сходится в силу леммы \ref{*OmegaEStim}, так как ${B_n(t)\/n!}=\o_n(t)$ для $t\in[0,1)$. Положим $$ G(t,z):=\sum_{n=0}^{+\iy}{B_n(t)\/n!}\,z^n=\sum_{n=0}^{+\iy}\o_n(t)z^n. $$ Поскольку $\o_{n+1}'(t)=\o_n(t)$, получаем $$ G'_t(t,z)=\sum_{n=1}^{+\iy}\o_{n-1}(t)z^n = zG(t,z). $$ Следовательно, $G(t,z)=e^{tz}G(0,z)$. С другой стороны, $$ 1=\int_0^1 G(t,z) = G(0,z)\cdot {e^t-1\/t}\,, $$ так как $\int_0^1\o_k(t)dt=0$ для всех $k\ge 1$. \end{proof} \begin{corollary} Для $z:|z|<2$ верно тождество \[ \label{GenBern} \sum_{n=0}^{+\iy}{B_n\/n!}\,z^n = {z\/e^z-1}. \] \end{corollary} \begin{proof} Очевидно, так как $B_n=B_n(0)$ по определению. \end{proof} Зная производящую функцию, можно получать разнообразные тождества. \begin{proposition} (i) $B_{2s+1}\!=\!0$ для всех $s\!\ge\!1$\,.\\ (ii) \[ \label{Bnt=} B_n(t)=\sum_{j=0}^n C_n^jB_{n-j}t^j\,,\quad n\ge 0. \] \end{proposition} \begin{proof} (i) Заметим, что для $z:|z|<2$ верно $$ \sum_{n=0}^{+\iy}{B_n\/n!}\,z^n - B_1z= {z\/e^z-1} + {z\/2} = z\lt({1\/e^z-1}+{1\/2}\rt)= {z\/2}\cdot {e^z+1\/e^{z}-1} = -{z\/2}\cdot {e^{-z}+1\/e^{-z}-1}. $$ Последнее равенство (т.е. четность функции) и дает требуемый результат. \no (ii) Для $t\in [0,1)$ и $z:|z|<2$ имеем $$ \sum_{n=0}^{+\iy}{B_n(t)\/n!}\,z^n = {te^{zt}\/e^t-1} = e^{zt}\cdot {t\/e^t-1} = \sum_{j=0}^{+\iy}{t^j\/j!}\,z^j\cdot \sum_{k=0}^{+\iy} {B_k\/k!}\,z^k. $$ Приравнивая коэффициенты при $z^n$, получаем $$ {B_n(t)\/n!}=\sum_{j+k=n,\ j,k\ge 0} {t^j\/j!}\cdot {B_k\/k!} = \sum_{j=0}^n {B_{n-j}\/j!(n-j)!}\,t^j, $$ что и требовалось доказать (поскольку это равенство многочленов, оно автоматически верно для всех $t$, если верно для $t\in[0,1)$). \end{proof} \begin{proposition}[одно из реккурентных тождеств для чисел Бернулли] $$ B_{n+1}= \sum_{j=0}^n {(n\!+\!1)C_n^j\/j\!+\!2}\cdot B_{n-j},\qquad n\ge 0. $$ \end{proposition} \begin{proof} По определению (см. (\ref{xOk+1=})) $$ {B_{n+1}\/(n\!+\!1)!} = \o_{n+1}(0) = -\int_0^1\left[\int_0^t\o_n(s)ds\right] = -\int_0^1(1\!-\!s)\o_n(s)ds=\int_0^1s\o_n(s)ds, $$ так как $\int_0^1\o_n(s)ds=0$. Другими словами, $$ {B_{n+1}\/(n\!+\!1)!} = {1\/n!}\int_0^1 sB_n(s)ds. $$ Подставляя сюда выражение (\ref{Bnt=}) для полинома $B_n(s)$ и интегрируя, получаем $$ B_{n+1}=(n\!+\!1)\sum_{j=0}^n {C_n^jB_{n-j}\/j\!+\!2}, $$ что и требовалось доказать. \end{proof} \setcounter{equation}{0} \section{Разложение $\ctg z$ в сумму простейших дробей,\\ ряд Тейлора для $\tg z$ и значения $\z(2k)$.} \begin{proposition} Для $z\in\C$, $z\ne 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \dots$ верно \[ \label{Ctg=Sum} \ctg z = \VP\sum_{n=-\iy}^{+\iy}{1\/z-\pi n}. \] \end{proposition} \begin{remark} {\rm (i) По определению $$ \VP\sum_{n=-\iy}^{+\iy}{1\/z-\pi n} = \lim_{N\to+\iy}\sum_{n=-N}^N {1\/z-\pi n} = {1\/z}+2z\sum_{n=1}^{+\iy}{1\/z^2-\pi^2n^2}\,. $$ (ii) Смысл (\ref{Ctg=Sum}) таков: если у нас есть рациональная функция (частное двух многочленов), то она всегда может быть разложена в сумму простейших дробей -- именно так мы вычисляем интегралы от рациональных функций. Здесь мы имеем дело с существенно более содержательной функцией $\ctg z$, но характер разложения абсолютно такой же!} \end{remark} \begin{proof} ????????? \end{proof} \begin{definition}[дзэта-функция Римана] Для $s>1$ положим $$ \zeta(s):=\sum_{n=1}^{+\iy}{1\/n^s} $$ \end{definition} Значения $\zeta(2k)$ в четных положительных числах тесно связаны с разложением функции $\tg z$ в окрестности нуля и с числами Бернулли. \begin{lemma} \[ \label{tg=} \tg z = \sum_{k=1}^{+\iy} {2\cdot(2^{2k}\!-\!1)\/\pi^{2k}}\,\z(2k)\cdot z^{2k-1}\,,\quad |z|<{\pi\/2}\,. \] \end{lemma} \begin{remark} {\rm Ясно, что значения $\z(2k)$ ограничены, поэтому ряд сходится.} \end{remark} \begin{proof} Имеем $$ \tg z = \ctg \lt({\pi\/2}-z\rt) = \VP \sum_{n=-\iy}^{+\iy} {1\/{\pi\/2}-z-\pi n} = - \VP \sum_{n=-\iy}^{+\iy} {1\/z+(n\!-\!{1\/2})\pi} = $$ $$ =-\sum_{n=1}^{+\iy}\lt({1\/z+(n\!-\!{1\/2})\pi}-{1\/z-(n\!-\!{1\/2})\pi}\rt)= 2z\sum_{n=1}^{+\iy}{1\/(n\!-\!{1\/2})^2\pi^2-z^2}. $$ Разложим каждое слагаемое в ряд (напомним, что $|z|<{\pi\/2}$): $$ {1\/(n\!-\!{1\/2})^2\pi^2-z^2}={1\/(n\!-\!{1\/2})^2\pi^2}+ {z^2\/(n\!-\!{1\/2})^4\pi^4}+ {z^4\/(n\!-\!{1\/2})^6\pi^6} + \dots $$ Таким образом, $$ \tg z = 2z\sum_{n=1}^{+\iy} \sum_{k=1}^{+\iy}{z^{2k-2}\/(n\!-\!{1\/2})^{2k}\pi^{2k}}. $$ Поменяем порядок суммирования (нетрудно проверить, что операция законна, так как есть абсолютная сходимость): $$ \tg z = 2z\sum_{k=1}^{+\iy} \left[\sum_{n=1}^{+\iy}{1\/(n\!-\!{1\/2})^{2k}\pi^{2k}}\right]\cdot z^{2k-2}. $$ Осталось свести сумму обратных степеней нечетных натуральных чисел к $\z$-функции. Ясно, что $$ \z(s)=\sum_{n=1}^{+\iy}{1\/n^s} = \sum_{n=1}^{+\iy}{1\/(2n\!-\!1)^s}+\sum_{n=1}^{+\iy}{1\/(2n)^s}= \sum_{n=1}^{+\iy}{1\/(2n\!-\!1)^s}+{1\/2^{s}}\,\z(s). $$ Поэтому $$ \sum_{n=1}^{+\iy}{1\/(n\!-\!{1\/2})^{2k}} = 2^{2k}\sum_{n=1}^{+iy}{1\/(2n\!-\!1)^{2k}} = (2^{2k}-1)\z(2k), $$ что и требовалось доказать. \end{proof} \begin{remark} {\rm Разложение (\ref{tg=}) можно рассматривать в качестве источника информации о сумме обратных четных степеней натуральных чисел. Например, используя первые два слагаемых формулы Тейлора $\tg z = z + {1\/3}\,z^3 + o(z^3)$, $z\to 0$, получаем $$ 1 = {6\/\pi^2}\,\z(2);\qquad {1\/3} = {30\/\pi^4}\,\z(4), $$ то есть $$ \sum_{n=1}^{+\iy}{1\/n^2}={\pi^2\/6}; \qquad \sum_{n=1}^{+\iy}{1\/n^4}={\pi^4\/90}. $$ } \end{remark} \begin{lemma} \label{*Zeta2k} Для всех $k\!\ge\!1$ \[ \label{Zeta2k=} \z(2k)=\frac{(2\pi)^{2k}(-1)^{k-1}B_{2k}}{2(2k)!}\,. \] \end{lemma} \begin{proof} Подставляя $z=2\pi it$ в производящую функцию (\ref{GenBern}) (и учитывая, что $B_1\!=\!-\frac{1}{2}$ и $B_3\!=\!B_5\!=\!\dots\!=0$), получаем $$ \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{B_{2k}(2\pi it)^{2k}}{(2k)!} = \frac{2\pi it}{e^{2\pi it}\!-\!1}+ \pi it = \pi it\,\frac{e^{2\pi it}\!+\!1}{e^{2\pi it}\!-\!1} = $$ $$ =\pi t\ctg \pi t = \pi t \cdot\VP\sum_{n=-\iy}^{+\iy}{1\/\pi t - \pi n}= 1+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2t^2}{t^2\!-\!n^2}\,. $$ Разложим дроби в ряды по степеням $t$: $$ \frac{2t^2}{t^2\!-\!n^2}\equiv -\frac{2t^2}{n^2}\cdot\frac{1}{1\!-\!\frac{t^2}{n^2}}\equiv -2\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{t^{2k}}{n^{2k}}\,. $$ Приравнивая теперь коэффициенты при $t^{2k}$, получаем требуемое равенство. \end{proof} \begin{corollary} \[ \label{tg=1} \tg z = \sum_{k=1}^{+\iy} {(-1)^{k-1}\B_{2k}\cdot 2^{2k}(2^{2k}\!-\!1)\/(2k)!}\cdot z^{2k-1}\,,\quad |z|<{\pi\/2}\,. \] \end{corollary} \begin{proof} Подставим (\ref{Zeta2k=}) в (\ref{tg=}). \end{proof} \begin{corollary} Верна асимптотика \[ \label{BAsympt} (-1)^{k-1}B_{2k}\sim \frac{2(2k)!}{(2\pi)^{2k}} %\sim 4\sqrt{\pi k}\lt({k\/\pi e}\rt)^{2k}, \quad k\to\infty. \] \end{corollary} \begin{proof} Достаточно заметить, что $\zeta(2k)\to 1$, $k\to\iy$. \end{proof} \setcounter{equation}{0} \section{Асимптотический ряд для $\bf \log \G(z)$.} Вернемся к асимптотике гамма-функции. Напомним, что \[ \label{StirlIdent} \G(z)=\exp\left[ \biggl(z\!-\!{\frac{1}{2}}\biggr)\log z - z + {1\/2}\log 2\pi - I(z) \right]\,, \] где $$ I(z) = \int_0^{+\iy}{\{t\}-{1\/2}\/z+t}\,dt = \int_0^{+\iy}{\o_1(t)\/z+t}\,dt=O(z^{-1}), $$ причем эта асимптотика равномерна в любом угле $\arg z\in[-\pi+\ve,\pi-\ve]$. Многократно интегрируя по частям и используя ограниченность функций $\o_n(t)={B_n(\{t\})\/n!}$, получаем $$ I(z)= -{\o_2(0)\/z} - \int_0^{+\iy} {\o_2(t)dt\/(z+t)^2} = -{\o_2(0)\/z} - {\o_3(0)\/z^2}+ 2\int_0^{+\iy} {\o_3(t)dt\/(z+t)^3} = $$ $$ = \dots = -{\o_2(0)\/z} - {\o_3(0)\/z^2}- \dots - {(n\!-\!1)!\o_{n+1}(0)\/z^n} + n!\int_0^{+\iy} {\o_{n+1}(t)dt\/(z+t)^{n+1}} $$ Вспоминая, что $\o_{2k}(0)={B_{2k}\/{2k}!}$, $\o_{2k+1}(0)=0$, получаем \[ \label{I(z)=O()} I(z)=-{B_2\/2z}-{B_4\/12z^3}-\dots - {B_{2k}\/2k(2k\!-\!1)z^{2k-1}}+ O\lt({1\/z^{2k+1}}\rt), \quad z\to\iy, \] равномерно в любом угле $\arg z\in [-\pi\!+\!\ve,\pi\!-\!\ve]$. Таким образом, {\bf для каждого фиксированного $\bf k$} мы имеем асимптотику: $$ \log \G(z) =\biggl(z\!-\!{\frac{1}{2}}\biggr)\log z - z + {1\/2}\log 2\pi + {B_2\/2z} + {B_4\/12z^3} +\dots + {B_{2k}\/2k(2k\!-\!1)z^{2k-1}}+ O\lt({1\/z^{2k+1}}\rt), $$ $z\to\iy$, $\arg z\in [-\pi\!+\!\ve,\pi\!-\!\ve]$. Возникает естественный вопрос - а нельзя ли отсюда как-нибудь заключить, что $\log \G(z)$ есть сумма соответствующего ряда? Изучим поведение слагаемых. Из асимптотики (\ref{BAsympt}) чисел Бернулли вытекает $$ \left|{B_{2k}\/2k(2k\!-\!1)z^{2k-1}}\right| \sim {2(2k\!-\!2)!\/(2\pi)^{2k} |z|^{2k-1}} \to +\iy,\quad k\to\iy, $$ для каждого(!!!) фиксированного $z$. То есть, формальный степенной ряд $$ \sum_{k=1}^{+\iy} {B_{2k}\/2k(2k\!-\!1)z^{2k-1}} $$ {\bf расходится при всех значениях $\bf z$}, причем его слагаемые довольно быстро растут. Удивительно, что этот ряд вполне может быть использован в практических целях для вычисления значений $\log \G(z)$. Чтобы увидеть это, ограничимся для простоты случаем $z=x>0$. У нас есть точное выражение $$ I(x)=-{B_2\/2x}-{B_4\/12x^3}-\dots - {B_{2k}\/2k(2k\!-\!1)x^{2k-1}}+ (2k)!\int_0^{+\iy} {\o_{2k+1}(t)dt\/(x\!+\!t)^{2k+1}}, $$ и, в силу Леммы \ref{*OmegaEStim}, $|\o_{2k+1}(t)|\le 2^{-2k-1}$. Значит, $$ \left|I(x) + {B_2\/2x} + {B_4\/12x^3} + \dots + {B_{2k}\/2k(2k\!-\!1)x^{2k-1}}\right| \le {(2k)!\/2^{2k+1}}\int_0^{+\iy} {dt\/(x\!+\!t)^{2k+1}} = {(2k\!-\!1)!\/2^{2k+1}x^{2k}}=:\d_k(x). $$ Будем теперь выбирать $k$ (то есть количество слагаемых разложения) зависящим от $x$. Для того, чтобы понять, как именно это делать, применим формулу Стирлинга: $$ \d_k(x)\sim {\sqrt{2\pi\big/2k}\/2}\lt({2k\/2ex}\rt)^{\!2k} = {\sqrt{\pi}\/2\sqrt{k}} \lt({k\/ex}\rt)^{\!2k} = {\sqrt{\pi}\/2\sqrt{k}} \cdot \left(\r\lt({k\/ex}\rt)\right)^{2ex},\quad k\to\iy, $$ где $\r(y)=y^y$. Несложно видеть\begin{footnote}{Так как $\r'(y)=\r(y)\cdot(y\log y)' = r(y)\cdot (\log y \!+\!1)$}\end{footnote}, что функция $\r(y)$ достигает своего минимума $e^{-1/e}$ в точке $y={1\/e}$, поэтому {\bf разумно выбирать $\bf k\!=\![x]$}. Получается такая оценка для точности: $$ \d_{[x]}(x)\sim {\sqrt{\pi}\/2\sqrt{[x]}} \lt({[x]\/ex}\rt)^{\!2[x]}\le e^{-2[x]}, $$ то есть \begin{quotation} \no {\it Погрешность приближения $I(x)$ правильно выбранной частичной суммой ряда $\sum_{k=1}^{+\iy} {B_{2k}\/2k(2k\!-\!1)z^{2k-1}}$ экспоненциально убывает с ростом $x$ (!)} \end{quotation} \no {\bf Отступление. } Описанная ситуация не является чем-нибудь из ряда вон выходящим. Приведем аналогичный пример, где в качестве асимптотического ряда будет выступать обычный(!!!) формальный ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции. Пусть $$ F(x):=\int_0^{+\iy}{e^{-t}\/1+t^2x^2}\,dt,\quad x\in\R. $$ Очевидно, что $F\in C^{\iy}(\R)$ и $0\le F(x)\le F(0) = 1$ для всех $x\in\R$. Вычислим ее формальный ряд Тейлора в точке $x=0$. Будем говорить, что $f(x)=O_1(g(x))$, если $|f(x)\big/g(x)|\le 1$ (другими словами, мы начинаем следить за константами в $O$-оценках). Для любого (фиксированного) $k$ и всех $t,x$ верно $$ {1\/1+t^2x^2}\ =\ 1-t^2x^2+t^4x^4-\dots + (-1)^{k-1}t^{2k-2}x^{2k-2} + {(-1)^{k}t^{2k}x^{2k}\/1+t^2x^2}= $$ $$ \quad\ \ =\ 1-t^2x^2+t^4x^4-\dots + (-1)^{k-1}t^{2k-2}x^{2k-2}+O_1(t^{2k}x^{2k}). $$ Умножая это на $e^{-t}$ и интегрируя от $0$ до $+\iy$, получаем, что $$ F(x)=1-2x^2+24x^4-\dots + (-1)^{k-1} (2k-2)! x^{2k-2} + O_1\left((2k)!x^{2k}\right) $$ Таким образом, формальный ряд Тейлора для этой функции в точке $x=0$ выглядит так: $$ \sum_{k=0}^{+\iy} (-1)^k(2k)!x^{2k} $$ и он расходится при всех $x\ne 0$. \setcounter{equation}{0} \section{Построение дзэта-функции Римана $\bf\z(s)$ для $\bf s\in\C$.} \begin{definition} Для $s\in\C:\Re s>1$ положим $$ \z(s):=\sum_{n=1}^{+\iy}{1\/n^s}. $$ {\rm (ряд сходится, поскольку $|{n^s}|={n^{\Re s}}$).} \end{definition} Наша цель - построить (аналитическое) продолжение $\zeta(s)$ во всю комплексную плоскость. Исходное определение для этой цели малопригодно, поэтому докажем лемму об интегральном представлении: \begin{lemma}\label{*ZetaInt} При $\Re s\!>\!1$ верно \[ \label{Zeta=Int} \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx \] {\rm (интеграл сходится, поскольку $\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\sim x^{s-2}$ при $x\!\to\!+0$). } \end{lemma} \begin{proof} По определению, $$ \Gamma(s)\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Gamma(s)}{n^s}\,. $$ Заметим, что $\Gamma(s)\!=\!\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}dt\!=\!n^s\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-nx}dx$\,. Следовательно, $$ \Gamma(s)\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-nx}dx= \int_0^{+\infty}x^{s-1}\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}\,dx= \int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx\,. $$ Обоснование изменения порядка суммирования: $|x^{s-1}e^{-nx}|=x^{\Re s-1}e^{-nx}$, а значит есть абсолютная сходимость (все оценивается через $\Gamma(\Re s)\zeta(\Re s)$). \end{proof} Теперь для того, чтобы построить продолжение $\z(s)$ во всю комплексную плоскость, мы (так же, как и ранее для $\G(s)$) разобьем интеграл в (\ref{Zeta=Int}) на два - по отрезку $[0,1]$ и по лучу $[1,+\iy)$. Итак, для $\Re s>1$ справедливо $$ \Gamma(s)\zeta(s) = \int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx = \int_0^1x^{s-2}\cdot{x\/e^x\!-\!1}\,dx + \int_1^{+\iy}{x^{s-1}\/e^x\!-\!1}\,dx = $$ (вспоминая производящую функцию для чисел Бернулли - cм. (\ref{GenBern})) $$ =\int_0^1 \sum_{n=0}^{+\iy} {B_n x^{s+n-2}\/n!}\,dx + \int_1^{+\iy}{x^{s-1}\/e^x\!-\!1}\,dx = \sum_{n=0}^{+\iy} {B_n\/n!(s\!+\!n\!-\!1)} + \int_1^{+\iy}{x^{s-1}\/e^x\!-\!1}\,dx\,. $$ Заметим теперь, что в полученном представлении ряд сходится (и притом равномерно на компактах) для всех $s\in\C\setminus\{1,0,-1,-2,\dots\}$, а интеграл сходится вообще при всех $s\in\C$. Поэтому, мы можем ввести \begin{definition} Для $s\in\C\setminus\{1,0,-1,-2,\dots\}$ положим $$ \z(s):={1\/\G(s)}\left[\sum_{n=0}^{+\iy} {B_n\/n!(s\!+\!n\!-\!1)} + \int_1^{+\iy}{x^{s-1}\/e^x\!-\!1}\,dx\right]. $$ \end{definition} \begin{remark} {\rm (i) Так как $B_0=0$ и $\G(1)=0$, имеем $$ \z(s)={1\/s-1}+O(1),\quad s\to 1. $$ \no (ii) Мы можем доопределить $\z(s)$ в точках $-k=0,-1,-2,\dots$ по непрерывности: $$ \z(-k):=\lim_{s\to -k}\z(s)= \lim_{s\to -k} {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\iy} {B_n\/n!(s\!+\!n\!-\!1)} + \int_1^{+\iy}{x^{s-1}\/e^x\!-\!1}\,dx \/ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(z\!+\!n)}+ \int_1^{+\infty}\!\!t^{z-1}e^{-t}dt} = {\displaystyle{B_{k+1}\/(k\!+\!1)!}\/\displaystyle{(-1)^k\/k!}}= {(-1)^kB_{k+1}\/k\!+\!1} $$ В частности, $\z(-2)=\z(-4)=\z(-6)=\dots=0$. Точки $-2,-4,-6,\dots$ называются {\bf тривиальными нулями $\bf \z$-функции }. } \end{remark} Существует \vskip 10pt \noindent {\bf Гипотеза Римана ($\$1000000$).} {\it Все нетривиальные (т.е. отличные от $-2,-4,\dots$) нули $\zeta$-функции лежат на прямой $\Re s\!=\!\frac{1}{2}$\,.} \vskip 10pt \newpage \setcounter{section}{0} \begin{center} {\LARGE \bf III. Преобразование Фурье. \\[10pt] Распределение простых чисел.} \end{center} \newpage \begin{thebibliography}{H} \bibitem [1] {F} Фихтенгольц, второй том. \bibitem [2] {O} Олвер Ф. {\it Асимптотика и специальные функции. } "Наука", 1990.\\ (Olver F.W.J., {\it Asymptotics and Special Functions}, Academic Press, 1974). \bibitem [3] {H} Харди Г. {\it Расходящиеся ряды.} "Иностранная литература", 1951.\\ (Hardy G.H., {\it Divergent Series}, Oxford, 1949.) \end{thebibliography} \end{document}