\documentclass[12pt]{article} \baselineskip=.2cm \textwidth=165mm \textheight=22cm \voffset -1.5cm \hoffset -1cm \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsthm} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \newtheorem{theorem}{\bf Теорема}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{\bf Лемма} \newtheorem{corollary}[theorem]{\bf Следствие} \newtheorem{proposition}[theorem]{\bf Предложение} \newtheorem{definition}[theorem]{\bf Определение} \newtheorem{conjecture}[theorem]{\bf Гипотеза} \def\remark{\noindent {\bf Замечание.}\ } %\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Немного определений %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \let\le\leqslant \let\ge\geqslant \def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\arg{\mathop{\rm arg}\nolimits} \def\res{\mathop{\rm res}\limits} \def\Lip{\mathop{\rm Lip}\nolimits} \def\li{\mathop{\rm li}\nolimits} \def\wt{\widetilde} \newcommand{\nh}[1]{{\mathop{#1}\limits^{{}_{\,\bf{\wedge}}}}\vphantom{#1}} \def\C{{\mathbb C}} \def\R{{\mathbb R}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\N{{\mathbb N}} \def\cD{{\cal D}} %%%%%%%%%%%%%%%% The end of "Немного определений" %%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \begin{center} {\LARGE \bf Доп. главы ТФКП. $8$ лекций.} \vskip 12pt {\large $\rm M{\bf\forall}T\!\!-\!\!M{\bf\exists}X$, 4 семестр, ПОМИ-группа, {\it Челкак Д.С.}} \end{center} \noindent \underline{\hbox to 1\textwidth{{ } \hfil{ } \hfil{ } }} \phantom{Delta4}\hfill © Delta4, 2005. \begin{center} {\large {\bf Лекция первая. 25 февраля 2005.}} \end{center} \setcounter{section}{-1} \section{Простые вещи.} В дальнейшем тексте через $\cD\subset\C$ мы будем обозначать произвольную ограниченную область с кусочно гладкой границей $\partial \cD$, а через $B_R$ - (открытый) круг радиуса $R$ с центром в начале координат. Класс аналитических в $\cD$ функций обозначается через $H(\cD)$. Как известно, одним из первых ключевых фактов ТФКП является \begin{theorem}[Формула Коши] Пусть $f\in H(\cD)\cap C(\overline\cD)$. Тогда $$ f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\zeta\in\partial\cD}\frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z}\,, \quad z\in\cD. $$ \end{theorem} Из этой формулы непосредственно вытекает масса следствий. Так, дифференцируя ее по $z$, получаем $$ \frac{f^{(n)}(z)}{n!}= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\zeta\in\partial\cD}\frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-z)^{n+1}}\,, \quad z\in\cD, $$ откуда {\it для функций $f\in H(B_R)\cap C({\overline B}_R)$} имеем \begin{equation} \label{TrivEstimCN} |c_n|\le\frac{M(R)}{R^n}\,,\quad n\ge 0\,, \end{equation} где $M(R):=\max_{|\zeta|=R}|f(\zeta)|$ и через $c_n$ обозначены тейлоровские коэффициенты $f(z)$ в точке $0$. В частности, из этой оценки очевидно, что ряд $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$ сходится (равномерно на компактах) в $B_R$ и, кроме того, $$ \overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|c_n|}\le\frac{1}{R}\,. $$ Нетрудно видеть, что последнее неравенство на самом деле дает необходимое и достаточное условие того, что степенной ряд аналитичен в круге радиуса $R$, т.е. что верна \begin{theorem}[Коши-Адамар] Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$ равен $\displaystyle\frac{1}{\overline{\lim}_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}$\,, какова бы ни была последовательность коэффициентов $\{c_n\}_{n\ge 0}\,.$ \end{theorem} Также формула Коши дает следующую оценку для $f\in H(B_R(z))\cap C(\overline{B}_R(z))$: $$ |f(z)|\le\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(z\!+\!Re^{i\phi})|d\phi\,, $$ которая выражает тот факт, что $|f(z)|$ является {\it субгармонической} функцией, то есть значение этой функции в центре каждой окружности меньше, чем среднее значение по этой окружности. Отсюда сразу вытекает \begin{theorem}[принцип максимума] Если $f\in H(\cD)\cap C(\overline\cD)$, то $$ \max_{\zeta\in\overline\cD}|f(\zeta)|=\max_{\zeta\in\partial\cD}|f(\zeta)|. $$ \end{theorem} В частности, из принципа максимума следует, что для $f(z)$, аналитической в кольце $B_{R_2}\setminus\overline{B}_{R_1}$\,, функция $M(r)$ не может иметь локальных максимумов на промежутке $(R_1\,,R_2)$. Этот результат можно существенно усилить. \section{Теорема Адамара о трех кругах.} \begin{theorem} Пусть $f\in H(B_{R_2}\setminus\overline{B}_{R_1})$. Тогда функция $M(r)=\max_{|\zeta|=r}|f(\zeta)|$ обладает следующим свойством выпуклости: \begin{equation} \label{HadamardConv} \forall R_1\!<\!r_1\!<\!r\!<\!r_2\!<\!R_2\qquad \log M(r)\le \frac{\log r_2-\log r}{\log r_2-\log r_1}\,\log M(r_1) +\frac{\log r-\log r_1}{\log r_2-\log r_1}\,\log M(r_2), \end{equation} т.е. функция $\log M(r)$ выпукла относительно $\log r$. \end{theorem} \begin{proof} Зафиксируем $r_10:M(r)\le e^{r^\mu},r\to+\infty\right\} $$ (если таких $\mu$ нет вообще, то $\rho=+\infty$). Если порядок функции конечен, то ее {\bf тип} определяется как $$ \sigma=\inf\left\{K: M(r)\le e^{Kr^\rho},r\to+\infty\right\}. $$ Если $\sigma=0$, то говорят, что функция имеет минимальный, а если $\sigma=+\infty$ - то максимальный тип. \end{definition} \noindent {\bf Комментарии:\ } i) В силу теоремы Коши-Адамара, целые функции представляются в виде всюду сходящегося ряда $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$, где $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=0$, при этом последнее условие необходимо и достаточно для того, чтобы функция $\sum_{n\ge 0}c_nz^n$ была целой.\\ ii) В силу теоремы Лиувилля, справедливость неравенства $M(r)\le Cr^n$ при $r\to+\infty$ невозможна, если только $f(z)$ не многочлен, поэтому использование экспоненциальных оценок в определении естественно. Отметим, что теорема Лиувилля сразу дает $$ \lim_{r\to+\infty} \frac{\log M(r)}{\log r}=+\infty, $$ если только $f$ не есть многочлен (предел заведомо существует в силу выпуклости $\log M(r)$, как функции от $\log r$). Наша ближайшая цель - установить связь между скоростью убывания коэффициентов $c_n$ при $n\to\infty$ и скоростью роста функции $M(r)$ при $r\to\infty$. Предположим сначала, что для каких-то $K,\mu>0$ справедлива оценка $$ M(r)\le e^{Kr^\mu},\quad r\to\infty. $$ Тогда (см. (\ref{TrivEstimCN})) для достаточно больших $r$ справедливо $$ |c_n|\le\frac{e^{Kr^\mu}}{r^n}=\varphi(r). $$ Легко видеть, что $(\log \varphi(r))'=K\mu r^{\mu-1}-nr^{-1}$, то есть функция $\varphi(r)$ имеет минимум при $r_{extr}=(n\big/K\mu)^{1/\mu}$. Отметим, что $r_{extr}\to\infty$ при $n\to\infty$, поэтому для достаточно больших $n$ справедливо $$ |c_n|\le \varphi(r_{extr})=\biggl(\frac{eK\mu}{n}\biggr)^{\!n/\mu}. $$ Логарифмируя это неравенство, имеем $$ \log\frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}\ge \frac{1}{\mu}\log\frac{n}{eK\mu} $$ и, далее, $$ \mu\ge\frac{\log n - \log eK\mu}{\log\frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}}\,. $$ Так как знаменатель стремится к бесконечности, имеем $$ \mu\ge\overline{\lim_{n\to\infty}}\,\,\frac{\log n}{\log\frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}}. $$ Рассматривая теперь инфимум $\mu$, для которых исходная оценка имеет место, получаем \begin{proposition}\label{_RgeA} Для каждой целой функции справедливо неравенство $$ \rho\ge\overline{\lim_{n\to\infty}}\,\,\frac{\log n}{\log\frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}}. $$ \end{proposition} Как мы скоро увидим, на самом деле левая и правая часть всегда равны, то есть коэффициенты $|c_n|$ целой функции порядка $\rho$ убывают не медленнее, чем $1\big/n^{n/\rho}$ и примерно такое убывание реализуется на какой-то подпоследовательности коэффициентов. \begin{center} {\large {\bf Лекция вторая. 28 февраля 2005.}} \end{center} Ключевым фактом, позволяющим получить неравенство $$ \alpha= \overline{\lim_{n\to\infty}}\,\,\frac{\log n}{\log\frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}}\le\rho $$ является \begin{equation} \label{Mr=>Cn} \log M(r)\le Kr^\mu,\ r\to\infty \quad\Rightarrow\quad |c_n|\le\biggl(\frac{e\mu K}{n}\biggr)^{\!{n}/{\mu}},\ n\to\infty. \end{equation} Предположим теперь, что справедлива оценка (\ref{Mr=>Cn}) для коэффициентов $|c_n|$, $n\ge N$. Имеем $$ M(r)=\max_{|\zeta|=r}\left|\sum_{n\ge 0}c_nz^n\right|\le \sum_{n\ge 0}|c_n|r^n $$ Рассмотрим минимальное $N_r>N$, такое что $\displaystyle \biggl(\frac{e\mu Kr^\mu}{N_r}\biggr)^{\!1/{\mu}}\!\!\le\!\frac{1}{2}$ (ясно, что $N_r\!=\!O(r^\mu)$). Тогда $$ M(r)\le \sum_{n=0}^{N-1}|c_n|r^n + \sum_{n=N}^{N_r-1} \biggl(\frac{e\mu K}{n}\biggr)^{{n}/{\mu}}r^n+1. $$ Оценим сумму $\sum_{n=N}^{N_r-1}$\,. Для этого найдем максимум выражения $\displaystyle\biggl(\frac{e\mu Kr^\mu}{n}\biggr)^{\!{n}/{\mu}}$ в зависимости от $n$. Несложно проверить, что этот максимум достигается при $n=\mu Kr^\mu$ и, следовательно, $$ \forall n \ \ \biggl(\frac{e\mu Kr^\mu}{n}\biggr)^{\!{n}/{\mu}}\le e^{Kr^\mu}. $$ В итоге получаем, что $$ M(r)\le \sum_{n=0}^{N-1}|c_n|r^n + (N_r\!-\!N)e^{Kr^\mu} +1. $$ Следовательно, для каждого $\varepsilon>0$ импликацию (\ref{Mr=>Cn}) можно "обратить": \begin{equation} \label{MrEquivCn} \log M(r)\le Kr^\mu,\ r\to\infty \ \Rightarrow\ |c_n|\le\biggl(\frac{e\mu K}{n}\biggr)^{\!{n}/{\mu}},\ n\to\infty \ \Rightarrow\ \log M(r)\le (K\!+\varepsilon)r^\mu,\ r\to\infty. \end{equation} Используя только что проведенное рассуждение, докажем \begin{theorem} Для произвольной целой функции справедливо\begin{footnote}{То есть величины $\rho$ и $\alpha$ ($\sigma$ и $\beta$) либо обе конечны и равны, либо обе бесконечны.}\end{footnote} $$ \rho=\alpha:=\overline{\lim_{n\to\infty}}\,\,\frac{\log n}{\log\frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}}. $$ Если порядок $\rho$ конечен, то верно также $$ (e\rho\sigma)^{1/\rho}= \beta:=\overline{\lim_{n\to\infty}}\,\,n^{\frac{1}{\rho}}\sqrt[n]{|c_n|}. $$ \end{theorem} \begin{proof} Неравенство $\rho\ge\alpha$ уже получено (Предложение \ref{_RgeA}). Для того, чтобы получить обратную оценку, заметим, что для каждого $\varepsilon>0$ верно $$ \frac{\log n}{\log\frac{1}{\sqrt[n]{|c_n|}}}<\alpha+\varepsilon,\ n\to\infty \quad\Rightarrow\quad |c_n|\le\biggl(\frac{1}{n}\biggr)^{\!{n}/{(\alpha+\varepsilon)}},\ n\to\infty. $$ Значит, в силу (\ref{MrEquivCn}), имеем $$ \log M(r)\le C\cdot r^{\alpha+\varepsilon},\ \ r\to+\infty \quad\Rightarrow\quad \rho\le\alpha+\varepsilon. $$ Так как $\varepsilon>0$ произвольно, отсюда вытекает $\rho\le\alpha$. Итак, $\rho=\alpha$. \pagebreak Аналогичным образом из (\ref{MrEquivCn}) вытекает требуемое равенство для типа $\sigma$ функции конечного порядка. В самом деле, $$ \log M(r)\le (\sigma\!+\!\varepsilon)r^\rho,\ r\to\infty \ \Rightarrow\ |c_n|\le \biggl(\frac{e\rho (\sigma\!+\!\varepsilon)}{n}\biggr)^{\!{n}/{\rho}} \ \Rightarrow\ n^{\frac{1}{\rho}}\sqrt[n]{|c_n|}\le (e\rho (\sigma\!+\!\varepsilon))^{\frac{1}{\rho}},\ n\to\infty. $$ В силу произвольности $\varepsilon>0$, получаем $\beta\le(e\rho\sigma)^{1/\rho}$. Обратно, $$ n^{\frac{1}{\rho}}\sqrt[n]{|c_n|}\le \beta+\varepsilon,\ n\to\infty \ \Rightarrow\ |c_n|\le \biggl(\frac{(\beta\!+\!\varepsilon)^{\rho}}{n}\biggr)^{\!{n}/{\rho}}\ \Rightarrow\ \log M(r)\le \biggl(\frac{(\beta\!+\!\varepsilon)^{\rho}}{e\rho}+\varepsilon\biggr)r^\rho, \ r\to\infty. $$ Отсюда $\sigma\le \beta^\rho\big/e\rho$\,, что и требовалось установить. \end{proof} \section{Принцип Фрагмена-Линделёфа.} Обсудим поведение функций конечного порядка $\rho\!>\!0$ в углах с вершиной в начале координат. Как показывает следующая теорема, они не могут быть ограничены на всех $[2\rho]\!+\!1$ лучах, делящих плоскость на равные углы раствора ${2\pi}\big/{([2\rho]\!+\!1)}<{\pi}\big/{\rho}$\,. \begin{theorem}[Phragmen-Lindel\"of]\label{_PLP} Пусть $U$ является углом раствора $\alpha\in(0,2\pi]$ с вершиной в начале координат и $f\in H(U)\cap C(\overline{U})$. Предположим, что $$ \log|f(z)|\le K|z|^\mu,\ z\to\infty,\ z\in \overline{U}, $$ где $\displaystyle\alpha<\frac{\pi}{\mu}$\,. Тогда из ограниченности функции $f$ на границе угла вытекает ее ограниченность во всем угле, т.е. $$ |f(\zeta)|\le C,\ \zeta\in\partial U \quad\Rightarrow\quad |f(z)|\le C, \ z\in U. $$ \end{theorem} \remark Данная теорема является обобщением принципа максимума модуля на неограниченные области (углы). Вообще, весь класс такого рода обобщений принципа максимума принято связывать с именами Фрагмена и Линделёфа. \begin{proof} Не умаляя общности, можно считать, что биссектриса $U$ является положительной полуосью. Рассмотрим функцию $$ g_\varepsilon(z):=f(z)e^{-\varepsilon z^\beta},\quad z\in U, $$ где $\varepsilon>0$ и $\mu<\beta<\pi\big/\alpha$. Ясно, что для $z\in U$ верно $|\arg z^\beta|\le \frac{1}{2}\,\alpha\beta<\frac{1}{2}\,\pi$. Значит, $$ \Re z^\beta \ge \cos\frac{\alpha\beta}{2}\cdot|z|^\beta,\ z\in U. $$ Таким образом, $$ \log|g_\varepsilon(z)|\le {K|z|^\mu-\varepsilon\cdot\cos\frac{\alpha\beta}{2}\cdot|z|^\beta}\to -\infty, \quad z\to\infty,\ z\in \overline{U}. $$ Теперь мы можем найти такое $R$, что $\displaystyle\max_{|\zeta|\ge R,\ \zeta\in U}|g(\zeta)|\le C$ и применить обычный принцип максимума для функции $g(z)$ и ограниченной области $U\cap B_R$\,. В итоге получаем, что $$ |g_\varepsilon(z)|\le C,\ z\in\overline{U}. $$ Устремляя теперь $\varepsilon\downarrow 0$, получаем $|f(z)|\le C$, $z\in\overline{U}$, что и требовалось. \end{proof} \section{Нули целой функции. Показатель сходимости.} Пусть нам дана произвольная бесконечная последовательность точек (возможно с повторениями) комплексной плоскости, не имеющая конечных точек сгущения: \begin{equation} \label{Alphas} \mathop{\underbrace{0,\dots,0}}_\lambda\,,\alpha_1,\alpha_2,\dots,\qquad 0<|\alpha_1|\le|\alpha_2|\le\dots, \ \ |\alpha_k|\to\infty. \end{equation} Зададимся вопросом, может ли эта последовательность в точности совпадать с множеством нулей какой-либо целой функции (для конечных последовательностей нулей искомая функция всегда существует - это многочлен). Ответ дает \begin{theorem}[Вейерштрасс] Бесконечное произведение $$ f(z):=z^\lambda\prod_{k\ge 1}\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)},\quad p_k(z)=\frac{z}{\alpha_k}+\frac{z}{2\alpha_k^2}+\dots+\frac{z^k}{k\alpha_k^k} $$ равномерно сходится на компактах, а значит является целой функцией. Множество нулей $f(z)$ с учетом кратности в точности совпадает с последовательностью (\ref{Alphas}). \end{theorem} \remark Множители $e^{p_k(z)}$ добавляются исключительно в целях сходимости бесконечного произведения. Многочлены $p_k(z)$, как мы увидим позднее, обычно можно выбирать существенно более "экономным"\ в плане степени способом. \begin{center} {\large {\bf Лекция третья. 11 марта 2005.}} \end{center} \begin{proof}[Доказательство теоремы Вейерштрасса] Рассмотрим $z\in\overline{B}_R$\,. Найдем такой номер $N(2R)$, что $|\alpha_{N(2R)}|\le 2R<|\alpha_{N(2R)+1}|$. Имеем $$ f(z)=\mathop{\underbrace{z^\lambda\prod_{k=1}^{N(2R)} \biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)}}}_{\displaystyle f_{2R}(z)} \ \cdot \mathop{\underbrace{\prod_{k=N(2R)+1}^\infty\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)}}}_ {\displaystyle e^{h_{2R}(z)}}, $$ где $$ h_{2R}(z)=\sum_{k=N(2R)+1}^\infty\left[\log\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)+p_k(z)\right] $$ (логарифмирование корректно, так как $|z\big/\alpha_k|<\frac{1}{2}$). Ясно, что для $k>N(2R)$ верно $$ \left|\log\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)+p_k(z)\right|= \biggl|\,-\!\!\sum_{s=k+1}^\infty\frac{z^s}{s\alpha_k^s}\biggr|< \sum_{s=k+1}^\infty\frac{1}{s2^s}<\frac{1}{2^k}\,. $$ Из этой оценки вытекает равномерная сходимость суммы $h_{2R}(z)$ для $|z|\le R$, а значит и равномерная сходимость произведения, участвующего в формулировке теоремы. Осталось заметить, что функция $e^{h_{2R}(z)}$ вообще не имеет нулей, а нули функции $f_{2R}(z)$, лежащие в круге $B_R$ совпадают с заданными. Теорема доказана. \end{proof} \remark Предположим, что существует такое $\varkappa\in\N_0$\,, что \begin{equation} \label{KappaDef} \sum_{k\ge 1}\frac{1}{|\alpha_k|^\varkappa}=+\infty\,,\qquad \sum_{k\ge 1}\frac{1}{|\alpha_k|^{\varkappa+1}}<+\infty\,. \end{equation} В такой ситуации мы можем изменить выбор многочленов $p_k(z)$ следующим образом: $$ %\begin{equation} \label{PkDef} p_k(z):=\frac{z}{\alpha_k}+\frac{z^2}{2\alpha_k^2}+\dots+ \frac{z^\varkappa}{\varkappa\alpha_k^\varkappa} $$ %\end{equation} ($p_k(z)\equiv 0$, если $\varkappa=0$). В самом деле, необходимо только слегка изменить доказательство сходимости ряда $h_{2R}(z)$ при $|z|\le R$: $$ \left|\log\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)+p_k(z)\right|= \biggl|\,-\!\!\sum_{s=\varkappa+1}^\infty\frac{z^s}{s\alpha_k^s}\biggr|< \frac{R^{\varkappa+1}}{|\alpha_k|^{\varkappa+1}}\sum_{s=\varkappa+1}\frac{1}{2^{s-\varkappa-1}} < \frac{2R^{\varkappa+1}}{|\alpha_k|^{\varkappa+1}}\,. $$ Ряд, составленный из правых частей неравенства, сходится в силу выбора $\varkappa$. \begin{corollary} Пусть нулями целой функции $f(z)$ является последовательность (\ref{Alphas}). Тогда справедливо представление $$ f(z)=e^{g(z)}\cdot z^\lambda\prod_{k\ge 1}\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)},\quad z\in\C, $$ где $g(z)$ - целая функция. \end{corollary} \begin{proof} Рассматривая отношение $f(z)$ и бесконечного произведения, построенного в Теореме Вейерштрасса видим, что это отношение является целой функцией, не обращающейся в $0$ на всей комплексной плоскости. Следовательно, оно представимо в виде $e^{g(z)}$ (другими словами, мы можем выбрать однозначную ветвь логарифма), что и требовалось доказать. \end{proof} \noindent {\bf Отступление. Показатель сходимости последовательности.\ } Рассмотрим какую-либо последовательность комплексных чисел $\{\alpha_k\}_{k=1}^\infty$:\ \ $0<|\alpha_1|\le|\alpha_2|\le\dots$\,,\ \ $|\alpha_k|\to\infty$. Положим $$ \tau:=\inf\biggl\{\lambda>0:\sum_{k\ge 1}\frac{1}{|\alpha_k|^\lambda}<+\infty\biggr\}. $$ В принципе, если рост $|\alpha_k|$ достаточно медленный (например, логарифмический), то таких $\lambda$ может вообще не найтись, тогда мы полагаем $\tau=+\infty$. \begin{lemma} Справедливо равенство $$ \tau=\gamma:=\overline{\lim_{k\to\infty}}\,\,\frac{\log k}{\log|\alpha_k|}\,. $$ \end{lemma} \begin{proof} С одной стороны, для всех $\varepsilon>0$ выполняется $$ \frac{\log k}{\log|\alpha_k|}<\gamma+\varepsilon,\ \ k\to\infty\quad \Rightarrow\quad \frac{1}{|\alpha_k|^\lambda}<\frac{1}{k^{\frac{\lambda}{\gamma+\varepsilon}}}\,,\ \ k\to\infty\quad \Rightarrow\quad \tau\le\gamma+\varepsilon, $$ то есть $\tau\le\gamma$. С другой стороны, из сходимости ряда $\displaystyle\sum_{k\ge 1} \frac{1}{|\alpha_k|^{\tau+\varepsilon}}$ и монотонного убывания последовательности $\displaystyle\frac{1}{|\alpha_k|^{\tau+\varepsilon}}$ вытекает\begin{footnote}{В самом деле, $\frac{k}{|\alpha_{2k}|^{\tau+\varepsilon}}\le \sum_{s=k+1}^{2k}\frac{1}{|\alpha_s|^{\tau+\varepsilon}}\to 0\,.$ }\end{footnote}, что $$ \lim_{k\to\infty}\frac{k}{|\alpha_k|^{\tau+\varepsilon}}=0. $$ Следовательно, имеем $$ k<|\alpha_k|^{\tau+\varepsilon},\ \ k\to\infty \quad\Rightarrow\quad \frac{\log k}{\log|\alpha_k|}<{\tau+\varepsilon},\ \ k\to\infty \quad\Rightarrow\quad \gamma\le{\tau+\varepsilon}, $$ а значит $\gamma\le\tau$, что и требовалось установить. \end{proof} \section{Неравенство Йенсена.} Наша цель - связать скорость роста нулей целой функции с ее порядком, т.е. со скоростью роста ее значений. Обозначим через $n(r)$ количество нулей функции $f(z)$ (с учетом кратности), лежащих в круге $\overline{B}_R$\,, исключая возможные нули в точке $0$. \begin{theorem} Пусть $f\in H(B_R)\cap C(\overline{B}_R)$ и $M(R)=\max_{|\zeta|=R}|f(\zeta)|$.\\ i) Если $f(0)=1$, т.е. $f(z)=1+c_1z+\dots$\,, то выполняется неравенство $$ \int_0^R\frac{n(r)}{r}\,dr\le\log M(R)\,. $$ ii) В общей ситуации $f(z)=c_\lambda z^\lambda+c_{\lambda+1}z^{\lambda+1}+\dots$ справедливо $$ \int_0^R\frac{n(r)}{r}\,dr\le\log \frac{M(R)}{|c_\lambda| R^\lambda}\,. $$ \end{theorem} \begin{proof} $i)\Rightarrow ii)$. Легко видеть, что если мы рассмотрим вместо функции $f(z)$ новую аналитическую функцию $\displaystyle g(z):=\frac{f(z)}{c_\lambda z^\lambda}$ и применим к ней первый пункт теоремы, то получится требуемая оценка.\\ i) Не умаляя общности можно считать, что $f(\zeta)\ne 0$, $|\zeta|=R$, поскольку обе части неравенства очевидно непрерывны по $R$. Обозначим через $\alpha_1\,,\alpha_2\,,\dots,\alpha_N$ нули функции $f(z)$ (лежащие в $B_R$) и рассмотрим функцию $$ \Phi(z)=\frac{f(z)}{(z\!-\!\alpha_1)\dots(z\!-\!\alpha_N)}\,,\ \ z\in\overline{B}_R\,. $$ Функция $\Phi(z)$ не имеет нулей в $\overline{B}_R$ и, как следствие, мы можем рассмотреть аналитическую в $B_R$ функцию $\log\Phi(z)$. Имеем $$ \log\Phi(0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta|=R}\frac{\log\Phi(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\Phi(Re^{i\theta})d\theta\,. $$ Переходя к вещественным частям, получаем $$ \log|\Phi(0)|= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|\Phi(Re^{i\theta})|d\theta\,. $$ Для левой части верно $$ \log|\Phi(0)|=\log|f(0)|-\sum_{k=1}^N\log|\alpha_k|=-\sum_{k=1}^N\log|\alpha_k|. $$ Для правой части имеем $$ \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|\Phi(Re^{i\theta})|d\theta= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|d\theta- \sum_{k=1}^N\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|Re^{i\theta}\!-\!\alpha_k|d\theta. $$ При этом $$ \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|Re^{i\theta}\!-\!\alpha_k|d\theta= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\biggl| R\!-\!\frac{\overline{\alpha}_k}{R}\,Re^{i\theta}\biggr|d\theta=\log R, $$ где последнее равенство вытекает из того, что функция $R\!-\!\frac{\overline{\alpha}_k}{R}\,z$ не имеет нулей в $\overline{B}_R$\,. Таким образом, мы установили, что $$ N\log R-\sum_{k=1}^N\log|\alpha_k|= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|d\theta\le \log M(R). $$ Но $$ N\log R-\sum_{k=1}^N\log|\alpha_k|= \sum_{k=1}^N\int_{|\alpha_k|}^R\frac{dt}{t}= \int_0^R\frac{n(r)}{r}\,dr\,, $$ что и дает требуемый результат. \end{proof} \section{Теорема Адамара о факторизации.} \begin{theorem} Пусть дана целая функция конечного порядка $\rho>0$ и последовательность ее нулей (\ref{Alphas}) (возможно конечная). Тогда\\ i) Показатель сходимости нулей конечен и не превосходит порядок функции: $\tau\le\rho$.\\ ii) Обозначим через $\varkappa:\tau-1\le\varkappa\le\tau$ натуральное число, удовлетворяющее (\ref{KappaDef}) и пусть $p_k(z)=\frac{z}{\alpha_k}+\dots+\frac{z^\varkappa}{\varkappa\alpha_k^\varkappa}$\,. Тогда справедливо представление \begin{equation} \label{Hadamard} f(z)=e^{g(z)}\cdot z^\lambda\prod_{k\ge 1}\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)},\quad z\in\C, \end{equation} где $g(z)$ - многочлен степени не выше, чем $\rho$. \end{theorem} \begin{proof} i) Пусть $0<\theta<1$. Используя неравенство Йенсена, получаем $$ \log\frac{1}{\theta}\cdot n(\theta R)=\int_{\theta R}^R\frac{n(\theta R)}{t}\,dt\le %\int_0^R\frac{n(r)}{r}\,dr\le \log \frac{M(R)}{|c_\lambda|R^\lambda}\le R^{\rho+\varepsilon}-\log |c_\lambda|R^\lambda \le R^{\rho+\varepsilon},\ \ R\to\infty. $$ Заменяя здесь $\theta R$ на $R$, имеем%\begin{footnote}{Минимум выражения $\displaystyle %\frac{1}{\theta^{\rho+\varepsilon}\log\frac{1}{\theta}}$ достигается при %$\theta=e^{-1/(\rho\!+\!\varepsilon)}$ и равен $e(\rho\!+\!\varepsilon)$.}\end{footnote} $$ n(R)\le C(\theta)R^{\rho+\varepsilon},\ \ C(\theta)=\frac{1}{\theta^{\rho+\varepsilon}\log\frac{1}{\theta}}\,,\ \ R\to\infty. $$ Положим $R=|\alpha_k|$. Тогда $n(R)\ge k$, откуда $$ k\le C(\theta)|\alpha_k|^{\rho+\varepsilon}\quad\Rightarrow\quad \frac{\log k}{\log|\alpha_k|} \le \rho+\varepsilon+\frac{\log C(\theta)}{\log|\alpha_k|}\,,\ \ k\to\infty. $$ Устремляя $k\to\infty$ и $\varepsilon\downarrow 0$, имеем $$ \tau=\overline{\lim_{k\to\infty}}\,\,\frac{\log k}{\log|\alpha_k|}\le \rho, $$ что и требовалось установить. \begin{center} {\large {\bf Лекция четвертая. 14 марта 2005.}} \end{center} \noindent ii) Наша цель - доказать, что все тейлоровские коэффициенты $\frac{1}{n!}\,g^{(n)}(0)$ целой функции $g(z)$ с достаточно большими номерами $n>\rho$ суть нули. Положим $$ f(z)=z^\lambda\prod_{k=1}^{N(R)}\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)\cdot f_R(z),\qquad f_R(z)=e^{g(z)+\sum_{k=1}^{N(R)}p_k(z)}\!\!\! \prod_{k=N(R)+1}^{\infty}\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)}, $$ где номер $N(R)$, как и ранее, выбран так, что $|\alpha_{N(R)}|\le R<|\alpha_{N(R)+1}|$. Отметим, что при $|z|=2R$ верно $|f_R(z)|\le |f(z)|\le M(2R)$. Поэтому принцип максимума дает $|f_R(z)|\le M(2R)$ при всех $|z|\le 2R$. % и, в частности, при всех $|z|\le R$. Для $|z|\le R$ мы можем записать $$ f_R(z)=e^{h_R(z)},\quad h_R(z)=g(z)+\sum_{k=1}^{N(R)}p_k(z)\ +\! \sum_{k=N(R)+1}^\infty\left[\log\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)+p_k(z)\right]. $$ При этом $$ \Re h_R(z)\le\log M(2R). $$ Наша ближайшая цель - получить из этого неравенства оценку для коэффициентов функции $h_R(z)$. \begin{lemma} Пусть $h(z)=\sum_{n\ge 0}c_nz^n\in H(B_R)\cap C(\overline{B}_R)$. Тогда для всех $n\ge 1$ справедливо представление $$ c_n=\frac{1}{\pi R^n}\int_0^{2\pi}\Re h(Re^{i\theta})\cdot e^{-in\theta}d\theta\,. $$ \end{lemma} \begin{proof} Пусть $c_n=\alpha_n+i\beta_n$\,. Тогда при $r\rho$ верно $$ \frac{h^{(n)}_R(0)}{n!}\to 0,\quad R\to\infty. $$ Последний шаг состоит в том, чтобы связать тейлоровские коэффициенты $h_R$ и $g$. Степени многочленов $p_k$ (при всех $k$) равны $\varkappa\le\rho\rho\ge\tau$, второе слагаемое представляет собой остаток сходящегося ряда и, значит, стремится к нулю при $R\to\infty$. Следовательно, $$ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}\to 0,\quad R\to\infty\,,\quad n>\rho. $$ Поскольку тейлоровские коэффициенты $g$ не зависят от $R$, теорема доказана. \end{proof} \section{Теоремы Бореля.} В предыдущем параграфе мы показали, что каждая целая функция конечного порядка раскладывается в произведение (\ref{Hadamard}). При этом показатель сходимости нулей и степень многочлена $g$ не превышают порядка функции. Покажем, что это точные оценки. \begin{theorem} Пусть дана последовательность нулей (\ref{Alphas}) с показателем сходимости $\tau$ и многочлен $g(z)$ степени $n$. Тогда порядок функции (\ref{Hadamard}) в точности равен $\max(n,\tau)$. \end{theorem} \begin{proof} Благодаря Теореме Адамара мы уже знаем, что $\rho\ge \max(n,\tau)$, где через $\rho$ обозначен порядок целой функции (\ref{Hadamard}). Поэтому все, что необходимо - это доказать оценку $$ \log |f(z)|\le {K|z|^{\max(n,\tau)+\varepsilon}},\quad |z|\to\infty $$ для каждого $\varepsilon>0$. Множители $e^{g(z)}$ и $z^\lambda$ очевидно удовлетворяют требуемому неравенству. Поэтому достаточно проверить, что $$ \log \left|\prod_{k=1}^\infty\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)}\right|\le K|z|^{\tau+\varepsilon},\quad |z|\to\infty. $$ Пусть сначала $\sum_{k\ge 1}{|\alpha_k|^{-\tau}}<\infty$ (и, в частности, $\varkappa<\tau\le\varkappa+1$). Оценим каждый сомножитель $(1-\frac{z}{\alpha_k})e^{p_k(z)}$ в отдельности. Легко видеть, что $$ \left|\frac{z}{\alpha_k}\right|\le\frac{1}{2}\ \ \Rightarrow\ \ \left|\log\biggl(1-\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)}\right|= \left|\sum_{s=\varkappa+1}^\infty\frac{z^s}{s\alpha_k^s}\right|< 2\left|\frac{z}{\alpha_k}\right|^{\varkappa+1}\le 2\left|\frac{z}{\alpha_k}\right|^{\tau}\,; $$ $$ \left|\frac{z}{\alpha_k}\right|\!\ge\!\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \left|\log\biggl(1\!-\!\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)}\right|\le \log\biggl(1+\frac{|z|}{|\alpha_k|}\biggr)+ \left|\frac{z}{\alpha_k}\right|^\varkappa\!\! ({\textstyle 2^{\varkappa-1}+\frac{1}{2}\,2^{\varkappa-2}+...+\frac{1}{\varkappa}})\le C\left|\frac{z}{\alpha_k}\right|^\tau, $$ поскольку $\tau>\varkappa$. \pagebreak\noindent В итоге для всех $k$ имеем $$ \left|\log\biggl(1\!-\!\frac{z}{\alpha_k}\biggr)e^{p_k(z)}\right|\le C\left|\frac{z}{\alpha_k}\right|^\tau. $$ Суммируя, получаем требуемую оценку (при условии, что $\sum_{k\ge 1} |\alpha_k|^{-\tau}<\infty$). Если же $\sum_{k\ge 1} |\alpha_k|^{-\tau}=\infty$, то $\varkappa\le\tau<\varkappa+1$ и аналогичные рассуждения могут быть проделаны с произвольным $\tau'\in(\tau,\varkappa+1]$, что и доказывает теорему. \end{proof} \begin{corollary}[еще одна теорема Бореля] Пусть $f$ - целая функция конечного порядка $\rho<\infty$ (но которая при этом не является многочленом). Тогда\\ i) Если $\rho\notin\N_0$\,, то для каждого $A\in\C$ уравнение $f(z)=A$ имеет бесконечно много решений и показатель сходимости этих решений (с учетом кратности) $\tau_A$ равен $\rho$.\\ ii) Если $\rho\in\N_0$\,, то для всех $A\in\C$, кроме возможно одного исключительного значения, уравнение $f(z)=A$ имеет бесконечно много решений и $\tau_A=\rho$. \end{corollary} \begin{proof} i) Доказывать нечего. В самом деле, порядок функции $f(z)-A$ равен порядку $f(z)$, т.е. является нецелым числом $\rho$. С другой стороны, этот же порядок равен максимуму из (целой) степени многочлена и $\tau_A$\,. Значит, $\tau_A=\rho$.\\ ii) Предположим, что $\rho=n\in\N_0$ и есть два значения $A\ne B$, для которых утверждение неверно. Так как $\tau_A$ строго меньше порядка функции $f(z)-A$ имеем $$ f(z)-A=e^{c_A z^n}\cdot f_1(z), $$ где $c_A\ne 0$ и порядок $\rho_1$ функции $f_1$ строго меньше, чем $n$. Заметим, что $$ \log |e^{c_Az^n}|={\Re c_Az^{n}}=|c_A|{\cos(\arg c_A + n\arg z)\cdot |z|^n}\,. $$ Так как $\rho_1\!0$ положим \begin{equation} \label{GammaDef} \Gamma(z):=\int_0^{+\infty}\!\!t^{z-1}e^{-t}dt\,. \end{equation} \end{definition} \remark Здесь значение $t^{z-1}:=e^{(z-1)\log t}$ корректно определено и, кроме того, $$ |\Gamma(z)|\le \int_0^{+\infty}|t^{z-1}|e^{-t}dt = \int_0^{+\infty}t^{\Re z-1}e^{-t}dt= \Gamma(\Re z)<+\infty\,,\quad \Re z\!>\!0\,. $$ \begin{lemma} i) Для $\Re z\!>\!0$ верно тождество $z\Gamma(z)\!=\!\Gamma(z\!+\!1)$.\\ ii) Для $\Re z\!>\!0$ справедливо представление \begin{equation} \label{GammaDef1} \Gamma(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(z\!+\!n)}+ \int_1^{+\infty}\!\!t^{z-1}e^{-t}dt\,. \end{equation} \end{lemma} \begin{proof} i) Доказывается интегрированием по частям: $$ \Gamma(z\!+\!1)=\int_0^{+\infty}\!\!t^ze^{-t}dt=-t^ze^{-t}\Big|_0^{+\infty}+ z\int_0^{+\infty}\!\!t^{z-1}e^{-t}dt=z\Gamma(z)\,. $$ ii) Легко видеть, что $$ \int_0^1\!t^{z-1}e^{-t}dt=\int_0^1\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nt^{z-1+n}}{n!}\,dt =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!(z\!+\!n)}\,. $$ \end{proof} \begin{definition} Для $z\ne 0,-1,-2,\dots$ определим $\Gamma(z)$ по формуле (\ref{GammaDef1}). \end{definition} \remark Очевидное преимущество представления (\ref{GammaDef1}) по сравнению с (\ref{GammaDef}) в том, что ряд равномерно сходится на любом компакте, не содержащем отрицательных целых точек, а интеграл сходится равномерно вообще на любом ограниченном множестве. \begin{proposition} $\Gamma\!\in\! H(\C\setminus\{0,-1,\dots\})$. В точке $-n$ $\Gamma(z)$ имеет простой полюс с вычетом $\frac{(-1)^n}{n!}$\,, $n\!\in\!\N_0$\,. Основное тождество $z\Gamma(z)\!=\!\Gamma(z\!+\!1)$ справедливо во всей плоскости $\C$\,. \end{proposition} \begin{proof} Рассмотрим аналитическое продолжение $\Gamma$-функции с правой полуплоскости на $\C\setminus\{0,-1,\dots\}$ по формуле (\ref{GammaDef1}). Ясно, что если мы рассмотрим альтернативное продолжение $\widetilde\Gamma (z)$ по формуле $\Gamma(z\!-\!1)\!\equiv\!(z\!-\!1)^{-1}\Gamma(z)$, то опять-таки получится аналитическая в $\C\setminus\{0,-1,\dots\}$ функция. Осталось заметить, что аналитическое продолжение единственно. Характер особенностей в отрицательных целых точках сразу вытекает из основного тождества. \end{proof} \begin{theorem}[Формула Эйлера] \label{*GammaEuler} Для всех $z \ne 0,-1,\dots$ верно $$ \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\cdot n^z}{z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}\,. $$ \end{theorem} \begin{proof} Ясно, что если формула справедлива для какого-то $z$, то она автоматически выполняется и для $z\!-\!1$, поскольку мы можем воспользоваться основным тождеством. Поэтому, достаточно рассматривать только $\Re z\!>\!0$\,. Вычислим интеграл $$ I_n(z):=\int_0^n t^{z-1}\biggl(1\!-\!\frac{t}{n}\biggr)^ndt\,, $$ а потом оценим разность $e^{-t}-(1-\frac{t}{n})^n$. После замены переменной и многократного интегрирования по частям имеем $$ I_n(z)=n^z\int_0^1\tau^{z-1}(1\!-\!\tau)^nd\tau = n^z\cdot \frac{n}{z}\int_0^1\tau^z(1\!-\!\tau)^{n-1}d\tau =\dots = \frac{n!\cdot n^z}{z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}\,. $$ Таким образом, осталось доказать, что $I_n(z)\!\to\!\Gamma(z)$ при $n\!\to\!\infty$\,. Так как для всех $t\!\in\!\R$, $|t|\!\le\! n$ верно $e^t\!\ge\!(1\!+\!\frac{t}{n})^n$, видим $$ 0\le e^{-t}-\biggl(1\!-\!\frac{t}{n}\biggr)^n= e^{-t}\left(1-e^t\biggl(1\!-\!\frac{t}{n}\biggr)^n\right)\le e^{-t}\left(1\!-\!\biggl(1\!-\!\frac{t^2}{n^2}\biggr)^n\right)\le \frac{t^2e^{-t}}{n}\,. $$ Отсюда $$ \biggl|I_n(z)-\int_0^n t^{z-1}e^{-t}dt\biggr|\le \frac{1}{n}\int_0^n|t^{z+1}|e^{-t}dt\le \frac{1}{n}\,\Gamma(\Re z \!+\! 2)\to 0\,,\quad n\!\to\!\infty\,. $$ Наконец, $\int_n^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}\!\to\!0$\,, поскольку интеграл сходится. \end{proof} \begin{corollary}[разложение в бесконечное произведение] $\frac{1}{\Gamma(z)}$ является целой функцией и ее факторизация Адамара есть $$ \frac{1}{\Gamma(z)}= e^{cz}\cdot z\prod_{k=1}^{+\infty}\biggl(1\!+\!\frac{z}{k}\biggr)e^{-\frac{z}{k}}\,, $$ где $c\!=\!\lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)=0.57...$. В частности, $\Gamma(z)$ не имеет нулей. \end{corollary} \begin{proof} Заметим, что $$ \left(\frac{n!\cdot n^z}{z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}\right)^{\!-1} = e^{-z\log n}\cdot z\prod_{k=1}^n\biggl(1\!+\!\frac{z}{k}\biggr) = e^{z(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\,-\,\log n)}\cdot z\prod_{k=1}^{n}\biggl(1\!+\!\frac{z}{k}\biggr)e^{-\frac{z}{k}}\,. $$ Осталось применить формулу Эйлера. \end{proof} \begin{corollary}[формула отражения] Справедливо тождество $$ \Gamma(z)\Gamma(-z)=-\frac{\pi}{z\sin \pi z}\quad \Leftrightarrow \quad \Gamma(z)\Gamma(1\!-\!z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}\,,\quad z\!\in\!\C\,. $$ \end{corollary} \begin{proof} В самом деле, $$ \frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(-z)}= e^{cz}\cdot z\prod_{k=1}^{+\infty}\biggl(1\!+\!\frac{z}{k}\biggr)e^{-\frac{z}{k}}\cdot e^{-cz}\cdot (-z)\prod_{k=1}^{+\infty}\biggl(1\!-\!\frac{z}{k}\biggr)e^{\frac{z}{k}}= -z^2\prod_{k=1}^{+\infty}\biggl(1\!-\!\frac{z^2}{k^2}\biggr)= -\frac{z\sin{\pi z}}{\pi}\,, $$ где мы использовали разложение синуса в бесконечное произведение. \end{proof} \remark В частности, $\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi\big/\sin \frac{\pi}{2}}=\sqrt{\pi}$\,. \section{Асимптотика $\Gamma(z)$. Формула Стирлинга.} \begin{lemma}[формула Эйлера-Маклорена] \label{*EulerMcLoren} Пусть $f\!\in\!C^1([0,n])$. Тогда $$ \sum_{k=0}^nf(k)-\int_0^n\!f(t)dt= \frac{f(0)\!+\!f(n)}{2}+\int_0^n\!f'(t) \left(\{t\}\!-\!{\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)dt\,. $$ \end{lemma} \begin{proof} Легко видеть, что интегрирование по частям дает $$ \int_{k}^{k+1}\!f'(t)\left(\{t\}\!-\!{\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)dt = f(t)\left(\{t\}\!-\!{\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)\Big|_k^{k+1}-\int_k^{k+1}\!f(t)dt = \frac{f(k)\!+\!f(k\!+\!1)}{2}-\int_k^{k+1}f(t)dt\,. $$ Суммируя по $k$, получаем требуемое равенство. \end{proof} \begin{theorem}[формула Стирлинга] Для каждого $\varepsilon\!>\!0$ асимптотика $$ \log\frac{1}{\Gamma(z)}=-\biggl(z\!-\!{\frac{1}{2}}\biggr)\log z + z -\frac{1}{2}\,\log 2\pi +O(z^{-1})\,,\quad z\!\to\!\infty\,, $$ выполняется равномерно в угле $\arg z\!\in\![-\pi\!+\!\varepsilon,\pi\!-\!\varepsilon]$\,. \end{theorem} \remark i) Так как $\frac{1}{\Gamma(z)}$ не имеет нулей в $\C\setminus\R_-$\,, в этой области можно определить не только однозначную ветвь $\log z$\,, но и однозначную ветвь $\log \frac{1}{\Gamma(z)}$\,.\\ ii) Нельзя надеяться получить осмысленную асимптотику во всей плоскости, поскольку гамма-функция имеет счетное множество полюсов на отрицательной полуоси. В то же время это и не нужно, поскольку всегда можно воспользоваться формулой отражения.\\ iii) Несложное тождественное преобразование дает $$ \Gamma(z)=\sqrt{\frac{2\pi}{z}}\cdot\biggl(\frac{z}{e}\biggr)^z(1\!+\!O(z^{-1}))\,,\quad z\!\to\!\infty\,,\quad \arg z\!\in\![-\pi\!+\!\varepsilon,\pi\!-\!\varepsilon]\,. $$ \begin{proof} По-прежнему, будем использовать формулу Эйлера (Теорема \ref{*GammaEuler}). Имеем $$ \log\frac{z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}{n!\cdot n^z}=\sum_{k=0}^n\log(z\!+\!k)-\sum_{k=1}^n\log k -z\log n $$ Лемма \ref{*EulerMcLoren} дает $$ \sum_{k=0}^n\log(z\!+\!k)=\int_0^n\!\log(z\!+\!t)dt + \frac{\log z\!+\!\log (z\!+\!n)}{2}+\underbrace{\int_0^n\frac{\{t\}-\frac{1}{2}}{z\!+\!t}\,dt}_{I_n(z)}= $$ $$ =t(\log t\!-\!1)\Big|_z^{z+n}+\frac{\log z\!+\!\log (z\!+\!n)}{2}+I_n(z)= (z\!+\!n\!+\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log(z\!+\!n)-(z\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log z - n + I_n(z)\,. $$ Подставляя сюда $z\!=\!1$ и вычитая "лишнее"\ слагаемое $\log(n\!+\!1)$ имеем $$ \sum_{k=1}^n\log k = (n\!+\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log(n\!+\!1) - n + I_n(1)\,. $$ Значит, $$ \log\frac{z(z\!+\!1)\dots(z\!+\!n)}{n!\cdot n^z}= -(z\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log z + z\log\frac{z\!+\!n}{n}+ (n\!+\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log\frac{z\!+\!n}{n\!+\!1}+I_n(z)-I_n(1)\,. $$ Устремляя $n\!\to\!\infty$\,, получаем $$ \log\frac{1}{\Gamma(z)}=-(z\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log z +z-1-I(1)+I(z)\,, $$ где $$ I(z)=\int_0^{+\infty}\frac{\{t\}-\frac{1}{2}}{z\!+\!t}\,dt $$ (несобственный интеграл сходится по признаку Дирихле). Интегрируя по частям, получаем $$ I(z)=\int_0^{+\infty}\frac{\varphi(t)dt}{(z\!+\!t)^2}\,,\qquad \varphi(t):=\int_0^t(\{s\}\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})ds=\frac{1}{2}\,\{t\}(\{t\}\!-\!1)\,. $$ Отсюда несложно получить оценку $I(z)\!=\!O(z^{-1})$ (равномерную в произвольном угле $\arg z\!\in\![-\pi\!+\!\varepsilon,\pi\!+\!\varepsilon]$). Именно, если $z\!=\!x\!+\!iy$\,, то $$ |I(z)|\le\frac{1}{8}\int_0^{+\infty}\!\!\frac{dt}{|z\!+\!t|^2}= \frac{1}{8}\int_0^{+\infty}\!\!\frac{dt}{(x\!+\!t)^2\!+\!y^2}\le \cases{\frac{1}{8}\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(x+t)^2}=\frac{1}{8x}\,, & $x\!>\!0$\,, \cr \frac{1}{8}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{t^2+y^2}=\frac{\pi}{8|y|}\,, & $|y|\!\ne\!0$\,.} $$ Первая оценка работает в секторе $\arg z\!\in\![-\varepsilon,\varepsilon]$, а вторая - в оставшейся области. Все что нам осталось - это вычислить константу $A=-1\!-\!I(1)$\,. \pagebreak \begin{center} {\large {\bf Лекция шестая. 28 марта 2005.}} \end{center} Рассмотрим тождество $$ \frac{1}{\Gamma(iy)\Gamma(-iy)}=-\frac{iy\sin \pi iy}{\pi}=\frac{y(e^{\pi y}\!-\!e^{-\pi y})} {2\pi} $$ при $y\!\to\!+\infty$\,. Логарифмируя, получаем $$ \pi y+\log y -\log 2\pi +o(1) =\log \frac{1}{\Gamma(iy)\Gamma(-iy)} = $$ $$ =-(iy\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log iy - (-iy\!-\!{\textstyle\frac{1}{2}})\log (-iy) +2A + o(1)=\pi y +\log y+2A+o(1)\,. $$ Следовательно, $A=-\frac{1}{2}\,\log 2\pi$\,, что и требовалось доказать. \end{proof} \section{Уточнение асимптотики $\Gamma(z)$. Числа Бернулли.} Напомним, что мы только что доказали тождество $$ \log\Gamma(z)=\biggl(z\!-\!{\frac{1}{2}}\biggr)\log z - z +\frac{1}{2}\,\log 2\pi -I(z)\,,\qquad I(z)=\int_0^{+\infty}\frac{\{t\}-\frac{1}{2}}{z+t}\,dt\,. $$ Интегрируя $I(z)$ по частям, довольно легко найти любое конечное число слагаемых типа $O(z^{-k})$ в асимптотике $\log\Gamma(z)$\,. Рассмотрим последовательность функций $$ \omega_0(t)\equiv 1\,,\quad \omega_1(t)\equiv\{t\}-\frac{1}{2}\,,\qquad \omega_{k+1}'(t)\equiv\omega_k(t)\,,\ \ \int_0^1\omega_{k+1}(t)dt\!=\!0\,,\ \ k\!\ge\!1\,. $$ При помощи индукции по $k$ легко установить, что $\omega_k(t)$ - периодичная функция и, более того, $\omega_k(t)$ - это полином степени $k$ от $\{t\}$\,. В частности, $$ \omega_2(t)\equiv\frac{1}{2}\,\{t\}^2-\frac{1}{2}\,\{t\}+\frac{1}{12}\,,\qquad \omega_3(t)\equiv\frac{1}{6}\,\{t\}^3-\frac{1}{4}\,\{t\}^2+\frac{1}{12}\,\{t\}\,. $$ Интегрирование по частям дает $$ -I(z)=-\int_0^{+\infty}\frac{\omega_1(t)}{z\!+\!t}\,dt= \frac{\omega_2(0)}{z}-\int_0^{+\infty}\frac{\omega_2(t)}{(z\!+\!t)^2}\,dt= \frac{\omega_2(0)}{z}+\frac{\omega_3(0)}{z^2}- 2\int_0^{+\infty}\frac{\omega_3(t)}{(z\!+\!t)^3}\,dt= $$ $$ =\dots= \frac{\omega_2(0)}{z}+\dots+\frac{(k\!-\!2)!\cdot\omega_{k}(0)}{z^{k-1}}+O(z^{-k})\,, \quad k\!\ge\!1\,, $$ при $z\!\to\!\infty$\,, $\arg z\!\in\![-\pi\!-\!\varepsilon,\pi\!+\!\varepsilon]$\,. \begin{definition} Полиномы Бернулли $B_k(t)$\,, $k\!\ge\!0$\,, определяются равенством $\omega_k(t)\!\equiv\!\frac{1}{k!}\,B_k(\{t\})$\,. Их значения при $t\!=\!0$ называются числами Бернулли $B_k:=B_k(0)$\,. \end{definition} \remark Старший коэффициент полинома Бернулли равен $1$. \pagebreak Найдем производящую функцию для полиномов Бернулли. Рассмотрим формальный степенной ряд $$ G(x,t):=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n(x)}{n!}\,t^n\,. $$ Тогда для $x\!\in\!(0,1)$\,. $$ G'_x(x,t)\equiv\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\omega_n(x)t^n\right)'_x\equiv \sum_{n=1}^{+\infty}\omega_{n-1}(x)t^n=tG(x,t) $$ и, следовательно, должно быть $$ G(x,t)\equiv e^{xt}G(0,t)\,. $$ Кроме того, $$ \int_0^1G(x,t)dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\,t^n\!\!\int_0^1\omega_n(x)dx=1\,, $$ что дает $$ 1=G(0,t)\int_0^1e^{xt}dx=G(0,t)\cdot\frac{e^t\!-\!1}{t}\quad\Rightarrow\quad G(0,t)\equiv\frac{t}{e^t\!-\!1}\quad\Rightarrow\quad G(x,t)\equiv\frac{te^{xt}}{e^t\!-\!1}\,. $$ Таким образом, доказана \begin{lemma} \label{*GenBern} Справедливы тождества $$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n(x)}{n!}\,t^n\equiv\frac{te^{xt}}{e^t\!-\!1}\,,\qquad \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n}{n!}\,t^n\equiv\frac{t}{e^t\!-\!1}\,. $$ \end{lemma} \remark Правые части представляют собой мероморфные функции с с особенностями в точках $\pm 2\pi i,\ \pm4\pi i,\dots$. Таким образом, все ряды сходятся при $|t|<2\pi$ и предыдущие рассуждения корректны для таких $t$ и $x\!\in\!(0,1)$. Так как обе части аналитичны по $x$, результат сразу же переносится на все $x\!\in\!\C$\,. Зная производящую функцию, можно получать разнообразные "комбинаторные"\ тождества. Мы не будем углубляться в эту деятельность, ограничившись следующими двумя утверждениями: \begin{lemma} i) $B_{2s+1}\!=\!0$ для всех $s\!\ge\!1$\,.\\ ii) Для всех $n\!\ge\!0$ справедливо тождество $B_n(x)\equiv\sum_{j=0}^n C_n^jB_{n-j}x^j$\,. \end{lemma} \begin{proof} i) Так как $B_1\!=\!-\frac{1}{2}$\,, требуемое утверждение эквивалентно четности функции $$ \frac{t}{e^t\!-\!1}+\frac{t}{2}\equiv\frac{t}{2}\cdot\frac{e^t\!+\!1}{e^t\!-\!1}\equiv -\frac{t}{2}\cdot\frac{e^{-t}\!+\!1}{e^{-t}\!-\!1}\,. $$ ii) Заметим, что $$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n(x)}{n!}\,t^n\equiv e^{xt}\cdot\frac{t}{e^t\!-\!1}\equiv \sum_{j=0}^{+\infty}\frac{1}{j!}\,(xt)^j\cdot\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{B_k}{k!}\,t^k\,. $$ Приравнивая коэффициенты при $t^n$, получаем $$ \frac{B_n(x)}{n!}=\sum_{j=0}^n\frac{B_{n-j}x^j}{j!(n\!-\!j)!}\,, $$ что и требовалось доказать. \end{proof} \begin{proposition}[значение $\zeta(2s)$] \label{*Zeta2s} Для всех $s\!\ge\!1$ верно $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2s}}=\frac{(2\pi)^{2s}(-1)^{s-1}B_{2s}}{2(2s)!}\,. $$ \end{proposition} \begin{proof}%[Доказательство (немного в стиле белого рояля в кустах).] Лемма \ref{*GenBern} (с учетом того, что $B_1\!=\!-\frac{1}{2}$ и $B_3\!=\!B_5\!=\!\dots\!=0$) дает $$ \sum_{s=0}^{+\infty}\frac{(2\pi it)^{2s}B_{2s}}{(2s)!}\equiv \frac{2\pi it}{e^{2\pi it}\!-\!1}+\pi it\equiv\pi it\,\frac{e^{2\pi it}\!+\!1}{e^{2\pi it}\!-\!1}\equiv \pi t\ctg \pi t\equiv 1+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2t^2}{t^2\!-\!n^2}\,. $$ Разложим дроби в ряды по степеням $t$: $$ \frac{2t^2}{t^2\!-\!n^2}\equiv -\frac{2t^2}{n^2}\cdot\frac{1}{1\!-\!\frac{t^2}{n^2}}\equiv -2\sum_{s=1}^{+\infty}\frac{t^{2s}}{n^{2s}}\,. $$ Приравнивая теперь коэффициенты при $t^{2s}$ (отметим еще, что все ряды являются аналитическими функциями при $|t|\!<\!1$\,, поэтому рассуждения корректны), получаем требуемое равенство. \end{proof} \remark Из Предложения \ref{*Zeta2s} непосредственно вытекает, что $$ B_{2s}\sim (-1)^{s-1}\frac{2(2s)!}{(2\pi)^{2s}}\,,\quad s\!\to\!\infty\,. $$ Возвращаясь к асимптотике $\log \Gamma(z)$\,, мы можем написать $$ \log\Gamma(z)=\biggl(z\!-\!{\frac{1}{2}}\biggr)\log z - z +\frac{1}{2}\,\log 2\pi +\sum_{s=1}^k\frac{B_{2s}}{2s(2s\!-\!1)z^{2s-1}}+O(z^{-2k-1}) $$ при $z\!\to\!\infty$\,, $\arg z\!\in\![-\pi\!+\!\varepsilon,\pi\!+\!\varepsilon]$\,, где $k$ - произвольное натуральное число. Необходимо {\underline{подчеркнуть}}, что ряд $$ \sum_{s=1}^{+\infty}\frac{B_{2s}}{2s(2s\!-\!1)z^{2s-1}} $$ расходится при всех $z\!\in\!\C$ в силу факториального роста чисел Бернулли. Это вполне естественно - если бы он сходился при каком-то $z_0\!\in\!\C$\,, то, как и всякий степенной ряд, должен был бы сходиться и при всех $z:|z|\!>\!|z_0|$, что выглядит по меньшей мере странно, если $z$ - отрицательное целое число. Такого рода разложения называются {\it асимптотическими рядами}. \section{Дзэта-функция Римана.} \begin{definition} Для $s\!\in\!\C$: $\Re s\!>\!1$ положим $$ \zeta(s):=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\,. $$ \end{definition} \remark Ряд сходится, так как $|n^{-s}|=n^{-\Re s}$. Наша ближайшая цель - построить аналитическое продолжение $\zeta(s)$ во всю комплексную плоскость. Исходное определение для этой цели малопригодно, поэтому докажем лемму об интегральном представлении: \begin{lemma}\label{*ZetaInt} При $\Re s\!>\!1$ верно \begin{equation} \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx \end{equation} \end{lemma} \remark Интеграл сходится, поскольку $\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\sim x^{s-2}$ при $x\!\to\!+0$\,. \begin{proof} По определению, $$ \Gamma(s)\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Gamma(s)}{n^s}\,. $$ Заметим, что $\Gamma(s)\!=\!\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}dt\!=\!n^s\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-nx}dx$\,. Следовательно, $$ \Gamma(s)\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-nx}dx= \int_0^{+\infty}x^{s-1}\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}\,dx= \int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx\,. $$ Обоснование изменения порядка суммирования: поскольку $|x^{s-1}e^{-nx}|=x^{\Re s-1}e^{-nx}$, этот "двойной интеграл"\ абсолютно сходится (и оценивается при этом через $\Gamma(\Re s)\zeta(\Re s)$). \end{proof} \begin{center} {\large {\bf Лекция седьмая. 08 апреля 2005.}} \end{center} \begin{theorem} i) $\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\in H(\C)$ (т.е. $\zeta(s)$ может быть аналитически продолжена во всю плоскость, кроме точки $s\!=\!1$, где она имеет простой полюс с вычетом $1$);\\ ii) Справедливо тождество $$ \zeta(1\!-\!s)=\frac{2\cos\frac{\pi s}{2}\,\Gamma(s)}{(2\pi)^s}\,\zeta(s)\,,\quad s\!\in\!\C\,. $$ \end{theorem} \begin{proof} i) Как и при построении аналитического продолжения (\ref{GammaDef1}) функции $\Gamma(s)$, мы будем использовать интегральное представление. При $\Re s\!>\!1$ справедливо $$ \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx= \frac{1}{\Gamma(s)}\left[\int_0^1\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx + \int_1^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx\right]= $$ (отметим, что второй интеграл сходится при всех значениях $s\!\in\!\C$) $$ =%\zeta(s)= \frac{1}{\Gamma(s)}\left[\int_0^1\biggl(\frac{1}{e^x\!-\!1}-\frac{1}{x}\biggr)x^{s-1}dx +\frac{1}{s-1}+\int_1^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx\right]= $$ (это представление задает аналитическое продолжение $\zeta(s)$ в $\{s:\Re s\!>\!0\,,\ s\!\ne\!1\}$) $$ =\frac{1}{\Gamma(s)}\left[\int_0^1\biggl(\frac{1}{e^x\!-\!1}-\frac{1}{x}+ \frac{1}{2}\biggr)x^{s-1}dx +\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2s}+\int_1^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx\right]\,. $$ Последняя формула работает при $\Re s\!>\!-1$, так как $\frac{1}{e^x\!-\!1}-\frac{1}{x}+ \frac{1}{2}=O(x)$, $x\!\to\!0$\,. Ясно, что такую процедуру заведомо можно повторить произвольное конечное число раз, получая представление для $\zeta(s)$ в области $\Re s\!>\!-k$\,. Отметим еще, что особенности в точках $s\!=\!-k$\,, $k\!\ge\!0$ отсутствуют, поскольку $\frac{1}{\Gamma(s)}$ имеет там нули.\\ ii) Докажем справедливость формулы при $-1\!<\!\Re s\!<\!0$ (так как и левая, и правая части аналитичны во всей плоскости кроме $s\!=\!0$, этого достаточно). Имеем $$ \zeta(s)\Gamma(s)= \int_0^1\biggl(\frac{1}{e^x\!-\!1}-\frac{1}{x}+ \frac{1}{2}\biggr)x^{s-1}dx +\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2s}+\int_1^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x\!-\!1}\,dx = $$ $$ =\int_0^{+\infty}\biggl(\frac{1}{e^x\!-\!1}-\frac{1}{x}+ \frac{1}{2}\biggr)x^{s-1}dx $$ Заметим, что $$ \frac{1}{e^x\!-\!1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\,\frac{e^x\!+\!1}{e^x\!-\!1}= -\frac{\ctg \frac{ix}{2}}{2i}= -\frac{1}{2i}\biggl(\frac{2}{ix}+\sum_{n\ge 1}\frac{ix}{-\frac{x^2}{4}-\pi^2n^2}\biggr) = \frac{1}{x}+\sum_{n\ge 1}\frac{2x}{x^2\!+\!4\pi^2n^2}\,. $$ Значит, $$ \zeta(s)\Gamma(s)= 2\int_0^{+\infty}\sum_{n\ge 1}\frac{x^s}{x^2\!+\!4\pi^2n^2}\,dx= 2\sum_{n\ge 1} \int_0^{+\infty}\!\!\frac{x^sdx}{x^2\!+\!4\pi^2n^2} $$ (интеграл и суммирование можно менять местами, поскольку все оценивается через $\zeta(\Re s)\Gamma(\Re s)\!<\!+\infty$). В то же время каждый интеграл легко вычисляется по вычетам (напомним, что $-1\!<\!\Re s\!<\!0$): $$ \int_0^{+\infty}\!\!\frac{x^sdx}{x^2\!+\!4\pi^2n^2}= \frac{2\pi i}{1\!-\!e^{2\pi i s}}\, \left(\res_{x=2\pi in}+\res_{x=-2\pi in}\right) = \frac{2\pi i}{1\!-\!e^{2\pi i s}}\,\biggl(\frac{(2\pi in)^s}{4\pi in}+\frac{(-2\pi in)^s}{-4\pi in}\biggr)= $$ $$ =\frac{(2\pi n)^{s}}{2n}\,\frac{e^{\frac{\pi}{2} is} - e^{\frac{3\pi}{2} is}}{1\!-\!e^{2\pi i s}}= \frac{(2\pi n)^{s}}{4n\cos\frac{\pi s}{2}}=\frac{(2\pi)^s}{4\cos\frac{\pi s}{2}}\, n^{s-1}\,. $$ Суммируя по $n$, получаем анонсированную формулу $2\zeta(s)\Gamma(s)\cos\frac{\pi s}{2}= (2\pi)^s\sum_{n\ge 1}n^{s-1}$ (ряд $\sum_{n\ge 1}n^{s-1}=\zeta(1\!-\!s)$ сходится, так как $\Re s\!<\!0$). \end{proof} \begin{corollary} $\zeta(-2)\!=\!\zeta(-4)\!=\!\dots\!=\!0$ и других нулей в $\{s:\Re s\!>\!1\}\cup\{s:\Re s\!<\!0\}$ дзэта-функция не имеет. \end{corollary} \begin{proof} То, что $\zeta(s)\!\ne\!0$ при $\Re s\!>\!1$ вытекает из разложения в бесконечное произведение (см. первый пункт следующей леммы), остальное получается при помощи формулы, выражающей $\zeta(1\!-\!s)$ через $\zeta(s)$\,. \end{proof} Установим еще связь $\zeta(s)$ с распределением простых чисел. \begin{lemma} i) При $\Re s\!>\!1$ верно $\displaystyle \zeta(s)=\prod_{k\ge 1}\biggl(1\!-\!\frac{1}{p_k^s}\biggr)^{\!\!-1}\,, $ где $p_k\!=\!2,3,5,7,11,13,17\dots$\linebreak В частности, $\zeta(s)$ не имеет нулей в полуплоскости $\{s:\Re s\!>\!1\}$\,.\\ ii) При $\Re s\!>\!1$ справедливо интегральное представление $$ \log\zeta(s)=s\int_2^{+\infty}\frac{\pi(x)dx}{x(x^s\!-\!1)}\,, $$ где через $\pi(x)$ обозначено количество простых чисел, не превосходящих $x$\,. \end{lemma} \begin{proof} i) Тождество очевидно, поскольку $\displaystyle\biggl(1\!-\!\frac{1}{p_k^s}\biggr)^{\!\!-1}\!\!=\frac{1}{p_k^s}\!+ \!\frac{1}{p_k^{2s}}\!+\!\dots$\\ ii) Имеем $$ \log\zeta(s)=-\sum_{k\ge 1}\log\biggl(1\!-\!\frac{1}{p_k^s}\biggr)=-\sum_{n\ge 2} (\pi(n)\!-\!\pi(n\!-\!1))\log\biggl(1\!-\!\frac{1}{n^s}\biggr)= $$ $$ =\sum_{n\ge 2}\pi(n)\left(-\log\biggl(1\!-\!\frac{1}{n^s}\biggr)+ \log\biggl(1\!-\!\frac{1}{(n\!+\!1)^s}\biggr)\right)= \sum_{n\ge 2}\pi(n)\int_n^{n+1} \left(\log(1\!-\!x^{-s})\right)'dx\,. $$ Осталось заметить, что $(\log(1\!-\!x^{-s}))'=\frac{s}{x(x^s-1)}$ и $\pi(x)\!=\!\pi(n)$ для $x\!\in\!(n,n\!+\!1)$\,. \end{proof} \section{Преобразование Меллина.} \begin{definition} Преобразованием Меллина называется линейное отображение $$ f(x),\ x\!\in\!\R_+\,,\quad \mapsto \quad F(s):=\int_0^{+\infty}\!\!x^{s-1}f(x)dx\,. $$ \end{definition} \remark Мы пока не рассматриваем вопрос сходимости интеграла.\\ \noindent {\bf Примеры. 1.\ } $f(x)=e^{-x} \mapsto F(s)=\Gamma(s)\,,\ \Re s\!>\!0$ (определение гамма-функции).\\ {\bf 2.\ } $\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x\!-\!1} \mapsto F(s)=\zeta(s)\,,\ \Re s\!>\!1$ (Лемма \ref{*ZetaInt}).\\ {\bf 3.} $$ \pi(x)\mapsto \int_2^{+\infty}x^{s-1}\pi(x)dx= \int_2^{+\infty}\biggl(\frac{1}{x(x^{-s}\!-\!1)}- \frac{1}{x^{1-s}(x^{-s}\!-\!1)}\biggr)\pi(x)dx= $$ $$ =-\frac{\log\zeta(-s)}{s}- \int_2^{+\infty}\frac{\pi(x)dx}{x^{1-s}(x^{-s}\!-\!1)}\,,\ \ \Re s\!<\!-1\,. $$ Отметим, что второй интеграл сходится при $\Re s\!<\!-\frac{1}{2}$\,, т.е. ведет себя лучше, чем $\zeta(-s)$\,. \pagebreak Наша ближайшая цель - получить формулу обращения, т.е. выражение $f(x)$ через $F(s)$. После этого, например, можно надеяться выразить $\pi(x)$ через дзэта-функцию Римана (пример 3) и из этого извлечь какую-то информацию о простых числах. Необходимо сказать, что преобразование Меллина легко выражается через преобразование Фурье, которое является намного более известным. \begin{definition} Преобразованием Фурье называется линейное отображение $$ f(x)\,,\ x\!\in\!\R\,,\quad\mapsto\quad \nh f (t):=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixt}f(x)dx\,,\ t\!\in\!\R\,. $$ \end{definition} \begin{theorem}[минимальные сведения о преобразовании Фурье] \ \\ i) {\bf (лемма Римана\,-Лебега)} Если $f\!\in\!L^1(\R)$\,, %(т.е. $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt\!<\!+\infty$), то $\nh f(t)\!\to\!0$\,, $t\!\to\!\pm\infty$\,.\\ ii) Пусть $f\!\in\!L^1(\R)$ и в точке $x_0\!\in\!\R$ выполнено {\bf условие Дини} $$ \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}\frac{|f(x)\!-\!f(x_0)|}{|x\!-\!x_0|}\,dx<+\infty $$ (что заведомо так, если, например, $f\!\in\!C^1$ или даже $f\!\in\!\Lip_\alpha$\,, $\alpha\!>\!0$). Тогда $$ f(x_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix_0t}\cdot\nh f(t)dt\,. $$ \end{theorem} \begin{proof}[Набросок доказательства] i) Если $f\in C^1_0(\R)$ (дифференцируемые функции с компактным носителем), то утверждение легко доказывается интегрированием по частям: $$ \nh f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixt}f(x)dx= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\biggl(\frac{e^{-ixt}}{-it}\biggr)'dx= \frac{1}{it}\int_{-\infty}^{+\infty}f'(x)e^{-ixt}dx=O\biggl(\frac{1}{t}\biggr)\,. $$ Если же мы имеем дело с произвольной функцией из $L^1(\R)$, то для каждого $\varepsilon\!>\!0$ найдется такая гладкая функция $f_1\!\in\!C^1_0(\R)$, что $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)\!-\!f_1(x)|dx<\frac{1}{2}\,\varepsilon$\,, откуда для всех $t$ имеем $|\nh f(t)\!-\!\nh f_1(t)|\!<\!\frac{1}{2}\,\varepsilon$\,. Так как $\nh f_1(t)\!\to\!0$\,, $t\!\to\!\pm\infty$ (см. выше), то для всех достаточно больших $t$ будет $|\nh f(t)|\!<\!\varepsilon$\,, что и доказывает требуемое утверждение в силу произвольности выбора $\varepsilon\!>\!0$\,.\\ ii) Легко видеть, что $$ \frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{+R}e^{ix_0t}\cdot\nh f(t)dt= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\left[\int_{-R}^Re^{i(x_0-x)t}dt\right]dx= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cdot\frac{\sin R(x\!-\!x_0)}{\pi(x\!-\!x_0)}\,dx\,. $$ Так как $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin Ry}{y}\,{dy}\!=\!\pi$, получаем $$ \frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{+R}e^{ix_0t}\cdot\nh f(t)dt - f(x_0)= \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(x)\!-\!f(x_0)}{\pi(x\!-\!x_0)}\cdot{\sin R(x\!-\!x_0)}dx = \int_{\R\setminus [x_0-\delta,x_0+\delta]}+\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} $$ Для каждого фиксированного $\delta\!>\!0$ первый интеграл сходится (при $R\!\to\!\infty$) к $0$ в силу первого пункта. Второй интеграл равномерно (по $R$) сходится к $0$ при $\delta\downarrow 0$ в силу условия Дини (ибо $|\sin R(x\!-\!x_0)|\!\le\!1$). Теперь для каждого $\varepsilon\!>\!0$ можно сначала найти такое $\delta\!>\!0$\,, что второй интеграл будет меньше чем $\frac{1}{2}\,\varepsilon$ для всех $R$\,; а потом (по этому \nolinebreak $\delta$) найти такое $R_0$\,, что при всех $R\!>\!R_0$ первый интеграл также меньше, чем $\frac{1}{2}\,\varepsilon$\,. \end{proof} \begin{center} {\large {\bf Лекция восьмая. 11 апреля 2005.}} \end{center} Напомним, что преобразованием Меллина называется линейное отображение $$ f(x),\ x\!\in\!\R_+\,,\quad \mapsto \quad F(s):=\int_0^{+\infty}\!\!x^{s-1}f(x)dx\,. $$ \begin{theorem}[простейшие свойства преобразования Меллина] Пусть для некоторого $k\!\in\!\R$ верно $\int_0^{+\infty}|f(x)|x^{k-1}dx\!<\!+\infty$\,. Тогда:\\ i) $F(s)$ корректна определена на прямой $\Re s\!=\!k$ и $F(k\!+\!it)\!\to\!0$ при $t\!\to\!\pm\infty$\,.\\ ii) Если в некоторой точке $x_0\!\in\!(0,+\infty)$ функция $f(x)$ удовлетворяет условию Дини, то справедлива {\bf формула обращения} \begin{equation} \label{MellinInverse} f(x_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{k-i\infty}^{k+i\infty}F(s)x_0^{-s}ds \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} Положим $\varphi(y):=e^{ky}f(e^y)$\,, $y\!\in\!\R$\,. Легко проверить, что если $f$ удовлетворяет условию Дини в точке $x_0$, то $\varphi$ удовлетворяет тому же условию в точке $y_0\!=\!\log x_0$\,. Ясно, что $$ \int_{-\infty}^{+\infty}|\varphi(y)|dy=\,[x\!=\!e^y]\,=\int_0^{+\infty}\!\!x^{k-1}|f(x)|dx\,, $$ т.е. $\varphi\!\in\!L^1(\R)$\,. Вычислим $F(k\!+\!it)$\,: $$ F(k+it)=\int_0^{+\infty}\!x^{k-1+it}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)e^{iyt}dy= \nh\varphi(-t)\,. $$ Первый пункт теперь вытекает из леммы Римана-Лебега, а формула обращения получается из соответствующей формулы для преобразования Фурье: $$ x_0^kf(x_0)=\varphi(\log x_0)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{it\log x_0}\nh \varphi(t)dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}x_0^{it}F(k-it)dt $$ (надо еще поделить на $x_0^k$ и сделать замену переменной $s:=k\!-\!it$). \end{proof} \section{Распределение простых чисел.} \begin{theorem} $$ \pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\,,\quad x\!\to\!+\infty\,. $$ \end{theorem} \begin{proof} Напомним, что $$ \log\zeta(s)=s\int_2^{+\infty}\frac{\pi(x)}{x(x^{s}\!-\!1)}dx\,, \quad \Re s\!>\!1\,. $$ Положим $$ \omega(s):=\int_2^{+\infty}\frac{\pi(x)}{x^{s+1}(x^{s}\!-\!1)}dx\,, \quad \Re s\!>\!\frac{1}{2} $$ (интеграл сходится, поскольку $\pi(x)\!\le\!x$). Следовательно, $$ \frac{\log\zeta(s)}{s}-\omega(s)=\int_2^{+\infty}\frac{\pi(x)}{x^{s+1}}\,dx\,,\quad \Re s\!>\!1\,. $$ Отметим, что $\omega(s)$ и ее производная ограничены в любой полуплоскости $\Re s\ge\frac{1}{2}\!+\!\delta$\,. Проведем некоторые тождественные преобразования. Дифференцируя по $s$\,, получаем $$ \varphi(s):=-\frac{\zeta'(s)}{s\zeta(s)}+\frac{\log\zeta(s)}{s^2}+\omega'(s)= \int_2^{+\infty}\frac{\pi(x)\log x}{x^{s+1}}\,dx\,,\quad \Re s\!>\!1\,. $$ Очевидно, что $\varphi(s)$ ограничена при $\Re s\!\ge\!1\!+\!\delta$\,, однако нам потребуется более точная информация о поведении этой функции при $\Re s\!\ge\!1$\,, а именно: \begin{equation} \label{KeyEstim} \varphi(\sigma\!+\!it)=O(\log^9|t|)\,,\quad t\!\to\!\pm\infty\,,\ \ \sigma\!\in\![1,2] \end{equation} (в частности, $\zeta(s)\!\ne\!0$ на прямой $\Re s\!=\!1$). Это будет доказано позже (Следствие \ref{*LastLemma}). Прежде, чем применять формулу обращения Меллина, проинтегрируем по частям. Пусть $$ g(x)=\int_0^x\frac{\pi(u)\log u}{u}\,du\,, \qquad h(x)=\int_0^x\frac{g(u)}{u}\,du $$ (очевидно, что $g(x)\!=\!O(x\log x)$\,, $h(x)\!=\!O(x\log^2x)$). Тогда $$ \varphi(s)=\int_0^{+\infty}\!g'(x)x^{-s}dx=s\int_0^{+\infty}\!g(x)x^{-s-1}dx= %s\int_0^{+\infty}h'(x)x^{-s}dx= s^2\int_0^{+\infty}h(x)x^{-s-1}dx\,, \quad \Re s\!>\!1\,. $$ Нам необходимо доказать, что $\pi(x)\log x\sim x$\,, $x\!\to\!+\infty$\,. Справедлива простая \begin{lemma} Пусть $f$ - неотрицательная неубывающая функция, такая что $$ \int_0^x\frac{f(u)}{u}\,du\sim x\,,\quad x\!\to\!+\infty\,. $$ Тогда $f(x)\sim x$\,, $x\!\to\!+\infty$\,. \end{lemma} \begin{proof} Для каждого $\delta\!>\!0$\,, всех достаточно больших $x\!>\!x_0(\delta)$ и всех $\varepsilon\!>\!0$ верно $$ f(x)\log(1\!+\!\varepsilon)\le \int_x^{(1+\varepsilon)x}\frac{f(u)}{u}\,du \le (1\!+\!\delta)(1\!+\!\varepsilon)x- (1\!-\!\delta)x=(\varepsilon+2\delta+\delta\varepsilon)x\,, $$ т.е. $$ \frac{f(x)}{x}\le \frac{\varepsilon+2\delta+\delta\varepsilon}{\log(1\!+\!\varepsilon)} =1+O\biggl(\varepsilon+\frac{\delta}{\varepsilon}\biggr)\,. $$ Полагая $\varepsilon\!=\!\delta^{1/2}$\,, имеем $f(x)\le (1\!+\!O({\delta}^{1/2}))x$\,. Оценка снизу доказывается аналогично. \end{proof} В силу этой леммы нам достаточно установить, что $h(x)\sim x$\,, $x\!\to\!+\infty$\,. \pagebreak Так как $$ \int_0^{+\infty}h(x)x^{-s-1}dx=\frac{\varphi(s)}{s^2}\,,\quad \Re s\!>\!1\,, $$ по формуле обращения Меллина имеем $$ h(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-\sigma-i\infty}^{-\sigma+i\infty}\frac{\varphi(-s)}{s^2}\,x^{-s}ds= \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}\frac{\varphi(s)}{s^2}\,x^sds\,,\quad\sigma\!>\!1\,. $$ Заметим, что в окрестности точки $s\!=\!1$ справедливо $$ \zeta(s)=\frac{1}{s\!-\!1}+\dots \quad\Rightarrow\quad \varphi(s)=\frac{1}{s\!-\!1}+\log\frac{1}{s\!-\!1} +\dots=\frac{1}{s\!-\!1}+\psi(s)\,, $$ где многоточием обозначены аналитические слагаемые. Поэтому мы можем написать $$ h(x)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}\frac{x^s}{(s\!-\!1)s^2}\,ds+ \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}\frac{\psi(s)}{s^2}\,x^sds $$ Первый интеграл легко берется по вычетам, находящимся в полуплоскости $\Re s<\sigma$: $$ \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}\frac{x^s}{(s\!-\!1)s^2}\,ds= \res_{s=0}+\res_{s=1}=\biggl(\frac{x^s}{s\!-\!1}\biggr)'_s\Big|_{s=0}+ \frac{x^s}{s^2}\Big|_{s=1}=-\log x-1+x $$ Во втором интеграле можно перейти к пределу при $\sigma\downarrow 1$\,, поскольку особенность $\psi(s)$ в точке $s\!=\!1$ логарифмическая и справедлива оценка (\ref{KeyEstim}). А тогда имеем $$ \int_{1-i\infty}^{1+i\infty}\frac{\psi(s)}{s^2}\,x^sds= ix\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\psi(1\!+\!it)}{(1\!+\!it)^2}\,e^{it\log x}dt=ix\cdot o(1)\,, \quad x\!\to\!+\infty\,, $$ в силу леммы Римана-Лебега. В итоге $h(x)\!=\!x\!+\!o(x)$. Доказательство закончено. \end{proof} \noindent {\bf Комментарий.\ } Видно, что нам было бы желательно сдвинуть прямую интегрирования в последнем интеграле как можно левее. Этому препятствуют возможные нули $\zeta$-функции, находящиеся в полосе $0\!<\!\Re s\!<\!1$\,. Существует \vskip 10pt \noindent {\bf Гипотеза Римана ($\$1000000$).} {\it Все нетривиальные (т.е. отличные от $-2,-4,\dots$) нули $\zeta$-функции лежат на прямой $\Re s\!=\!\frac{1}{2}$\,.} \vskip 10pt Известно, что если эта гипотеза справедлива, то $$ \pi(x)=\int_e^x\frac{d\xi}{\log\xi}+O(\sqrt{x}\log x)\,. $$ Такая оценка остатка практически оптимальна, поскольку (результат Литтлвуда) для любой константы $c\!>\!0$ каждое из неравенств $$ \pi(x)-\int_e^x\frac{d\xi}{\log\xi}> c\sqrt{x}\,\frac{\log\log\log x}{\log x}\,;\qquad \pi(x)-\int_e^x\frac{d\xi}{\log\xi}< -c\sqrt{x}\,\frac{\log\log\log x}{\log x} $$ справедливо для бесконечного числа значений $x\!\to\!+\infty$\,. \pagebreak \section{Поведение $\zeta(s)$ на прямой $\Re s=1$\,.} \begin{theorem}[Адамар -- Валле-Пуссен] \label{*Re=1} $\zeta(s)\!\ne\!0$\,, если $\Re s\!=\!1$\,. \end{theorem} \begin{proof} Рассмотрим разложение в бесконечное произведение $$ \zeta(s)=\prod_{k\ge 1}\biggl(1\!-\!\frac{1}{p_k^s}\biggr)^{-1} $$ при $s=\sigma\!+\!it$\,, $\sigma\downarrow 1$\,. Логарифмируя, имеем $$ \log|\zeta(s)|=-\Re\sum_{k\ge 1}\log\biggl(1\!-\!\frac{1}{p_k^s}\biggr)= \sum_{k\ge 1} \sum_{m\ge 1} \Re\frac{1}{mp_k^{ms}}= \sum_{k\ge 1}\sum_{m\ge 1}\frac{\cos (mt\log p_k)}{mp_k^{m\sigma}} $$ Основная идея приведенного ниже доказательства заключается в том, что если бы было $\zeta(1\!+\!it)\!=\!0$\,, то при $\sigma\downarrow 1$ последняя сумма должна стремиться к $-\infty$\,, то есть "довольно много"\ косинусов в числителе должны быть "примерно равны"\ $-1$\,. Если же такая ситуация имеет место, то тогда в аналогичной сумме для $\sigma\!+\!2it$ "довольно много"\ косинусов "примерно равны"\ $+1$\,, то есть при $\sigma\downarrow 1$ сумма будет стремиться к $+\infty$\,, что невозможно, так как тогда $\zeta$-функция должна была бы иметь полюс в точке $1\!+\!2it$\,. Наиболее простая реализация этой идеи такова (Валле-Пуссен): $$ \forall\phi\quad 3\!+\!4\cos\phi\!+\!\cos 2\phi=2(1\!+\!\cos\phi)^2\ge 0\,. $$ Значит, для всех $\sigma\!>\!1$ и всех $t\!\in\!\R$ верно $$ 3\log|\zeta(\sigma)|+4\log|\zeta(\sigma\!+\!it)|+\log|\zeta(\sigma\!+\!2it)|\!\ge\!0 \ \ \Rightarrow \ \ |\zeta(\sigma)|^3|\zeta(\sigma\!+\!it)|^4|\zeta(\sigma\!+\!2it)|\!\ge\!1\,. $$ Пусть $\zeta(1\!+\!it)\!=\!0$\,. Тогда при $\sigma\downarrow 1$ верно $|\zeta(\sigma\!+\!it)|=O(|\sigma\!-\!1|)$\,, $\zeta(\sigma)\!=\!O(|\sigma\!-\!1|^{-1})$ (так как в точке $s\!=\!1$ находится простой полюс) и $\zeta(\sigma\!+\!2it)\!=\!O(1)$ (так как $\zeta(s)$ регулярна в точке $1\!+\!2it$). Но это противоречит полученной оценке. \end{proof} \begin{theorem} В области $s\!=\!\sigma\!+\!it$\,, $\sigma\!\in\![1,2]$\,, $t\!\ge\!2$ справедливы оценки $$ \zeta(s)=O(\log t)\,,\quad \zeta'(s)=O(\log^2t)\,,\quad \frac{1}{\zeta(s)}=O(\log^7t)\,. $$ \end{theorem} \begin{proof} i) Применяя формулу суммирования Эйлера-Маклорена (Лемма \ref{*EulerMcLoren}) при $\sigma\!>\!1$\,, имеем %$$ %\zeta(s)=\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n^s}+\sum_{n=N}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\,, %$$ $$ \sum_{n=N}^{+\infty}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{2N^s}+\frac{1}{(s\!-\!1)N^{s-1}}- s\int_N^{+\infty}\frac{\{x\}-\frac{1}{2}}{x^{s+1}}\,dx= O\biggl(\frac{1}{N^\sigma}+\frac{1}{tN^{\sigma-1}}+\frac{t}{\sigma N^\sigma}\biggr) %=O\biggl(\frac{N^2\!+\!t^2}{tN}\biggr) $$ (мы использовали равенство $|x^{s+1}|=x^{\sigma+1}$ при оценке интеграла). При этом оценка равномерна по $\sigma$\,, а значит справедлива и при $\sigma\!=\!1$\,. Теперь возьмем $N=[t]$ и заметим, что $$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n^s}+O(1)=\sum_{n=1}^{[t]-1}O\biggl(\frac{1}{n}\biggr)+O(1) = O(\log t)\,. $$ ii) Оценка функции $\zeta'(s)=-\sum_{n\ge 1}\frac{\log n}{n^s}$ получается аналогично.\\ iii) Как мы видели при доказательстве Теоремы \ref{*Re=1}, если $\sigma\!>\!1$\,, то $$ \frac{1}{|\zeta(\sigma\!+\!it)|}\le|\zeta(\sigma)|^{3/4}|\zeta(\sigma\!+\!2it)|^{1/4} = O\biggl(\frac{\log^{1/4}t}{(\sigma\!-\!1)^{3/4}}\biggr)\,. $$ Положим $\sigma_0(t):=1\!+\!c\log^{-9}t$\,, где $c\!>\!0$ - достаточно малая постоянная. Если $\sigma\!>\!\sigma_0(t)$\,, то оценка уже доказана. Кроме того, справедливо $$ |\zeta(\sigma_0(t)\!+\!it)|\ge A\cdot c^{3/4}\log^{-7}t\,, $$ где $A\!>\!0$ - некоторая абсолютная постоянная. При $\sigma\!<\!\sigma_0(t)$ полученная выше оценка для $\zeta'(s)$ дает $$ \zeta(\sigma\!+\!it)=\zeta(\sigma_0(t)\!+\!it)+O((\sigma_0(t)\!-\!\sigma)\log^2t)= \zeta(\sigma_0(t)\!+\!it)+O(c\log^{-7}t)\,. $$ Ясно, что, выбирая достаточно маленькое $c$, можно сделать первое слагаемое главным. \end{proof} \begin{corollary} \label{*LastLemma} В области $s\!=\!\sigma\!+\!it$\,, $\sigma\!\in\![1,2]$\,, $t\!\ge\!2$ справедливы оценки $$ \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=O(\log^9t)\,,\quad \log\zeta(s)=O(\log^9t)\,. $$ \end{corollary} \begin{proof} Неравенство для $\zeta'(s)\big/\zeta(s)$ получается перемножением соответствующих оценок $\zeta'(s)$ и $1\big/\zeta(s)$\,, а неравенство для $\log\zeta(s)$ - интегрированием: $$ \log\zeta(s)=\log\zeta(2\!+\!it)-\int_\sigma^2O(\log^9t)dx=O(\log^9t)\,. $$ Следствие доказано. \end{proof} \vskip 30pt \begin{center} {\Large {\bf Источники мудрости.}}\hfill\phantom{\ } \end{center} \noindent Маркушевич А. И. {\it Теория аналитических функций, т. 1,2. } "Наука", 1967-1968. \noindent Олвер Ф. {\it Асимптотика и специальные функции. } "Наука", 1990 (F. Olver 1974). \noindent Титчмарш Е. К. {\it Теория дзэта-функции Римана. } "ИЛ", 1953 (E. C. Titchmarsh 1951). \end{document}