Семинар по маломерной математике "Москва-Петербург"
СПб, ПОМИ, 29.03.2002, 16:00--17:45, ауд. 311

М. Казарян.
Мультиособенности и кобордизмы.

Традиционно исчислительная геометрия считается ветвью алгебраической
геометрии и теории пересечений. Современная теория пересечений
с ее методами особых схем, раздутий и избыточных пересечений настолько
сложна и технична, что доказательство даже простейших геометрически
наглядных утверждений занимает большое количество страниц, исчерченных
формулами и коммутативными диаграммами.

Например, количество плоскостей в $CP^3$, касающихся фиксированной
поверхности степени $d$ общего положения в трех различных точках,  
посчитано Сальмоном еще в XIX веке, однако доказательство, которое
удовлетворило бы современных алгебраистов, получено сравнительно
недавно. Вместе с тем, на аналогичный вопрос относительно 
гиперповерхностей в $CP^4$, $CP^5$,... современная теория не в
состоянии дать ответ.

В докладе будет предложен альтернативный более геометричный подход,
мотивировка которого лежит в топологии, точнее, теории кобордизмов и
теории когомологических операций. Новые формулы, полученные на этом
пути, существенно увеличивают количество решенных задач
исчислительной геометрии, например, следующей.

Пусть $H\subset CP^n$ - общаяа гиперповерхность степени $d$. Сколько
имеется $k$-мерных подпространств $L$, таких, что пересечение
$L\cap H$ имеет заданный набор изолированных особенностей
$\alpha_1,...,\alpha_r$? Будет предъявлено несколько сотен новых формул,
выражающих ответ на эту задачу для различных $n,k,d$ и типов
мультиособенностий невысокой коразмерности. Для $n\le3$ эти формулы
совпадают с классическими формулами Плюккера и Сальмона.