Семинар по маломерной математике "Москва-Петербург"
СПб, ПОМИ, 17.05.2002, 16:00--17:45, ауд. 311

П.Светлов (СПб). 
"Разностные уравнения на графах и геометрия трехмерных многообразий".

Согласно геометризационной гипотезе Терстона,
элементарными ``кирпичами" для построения трехмерных
многообразий являются слоения Зайферта и гиперболические
многообразия (из них можно построить все многообразия,
за исключением т.н. Sol-многообразий).

Основным объектом доклада являются граф-многообразия,
то есть трехмерные многообразия, склеенные из слоений
Зайферта с торическими краями вдоль их краевых компонент.
Каждому такому многообразию $M$ соответствует
меченый граф $\Gamma_M$, двойственный разбиению
$M$ на ``кирпичи" (его вершинам соответствуют слоения
Зайферта, а ребрам --- торы склейки).
Оказывается, в графе $\Gamma_M$ закодированы
многие геометрические и топологические
свойства граф-многообразия $M$. Например, существование
метрики неположительной секционной кривизны (NPC-метрики)
на $M$ равносильно разрешимости некоторого разностного
уравнения второго порядка на $\Gamma_M$. Анализ этого уравнения
(открытого С.~В.~Буяло и В.~Л.~Кобельским в 1995 и, независимо,
W.~D~.Neumann'ом в 1998) позволил доказать следующую теорему.

Теорема. Пусть $M$  --- компактное граф-многообразие.
Если $M$ допускает NPC-метрику, то оно с
конечной степенью накрывается расслоением над окружностью.

В докладе будет представлен обзор свойств компактных граф-многообразий,
которые могут быть описаны в терминах разрешимости
упомянутого уравнения.
К этим свойствам, помимо упомянутых выше, относятся:
существование вложенной (погруженной)
несжимаемой поверхности рода $g\ge 2$ в $M$,
существование такой поверхности
в некотором конечнолистном накрывающем, существование
структуры слоения коразмерности 1 yf $M$.

Результаты, излагаемые в докладе принадлежат
С.~В.~Буяло, В.~Л.~Кобельскому, W.~D~.Neumann'у,
J.~Luecke, Y.~Wu, S.~Wang'у, H.~Rubinstein'у и докладчику.