Семинар по маломерной математике "Москва-Петербург"
СПб, ПОМИ, 15.11.2002, 16:00--17:45, ауд. 311

А.И.Назаров.
Множественность решений задачи "реакция-диффузия" в сферическом слое: чем 
трехмерное пространство отличается от всех остальных?

Двадцать лет назад было обнаружено (C.V.Coffman), что краевая задача
$$-\Delta u=u^{q-1}\ \mbox{\rm{в}}\ \Omega, \quad u|_{\partial\Omega}=0$$
в кольце $\Omega=B_{R_2}\setminus B_{R_1}$ на плоскости допускает при $q>2$ любое 
наперед заданное число существенно различных положительных решений, если 
кольцо достаточно тонкое (т.е. $\epsilon=R_2/R_1-1$ достаточно мало). 

Впоследствии этот результат был обобщен (Y.Y.Li) на задачу в сферическом 
слое в любой размерности, кроме $n=3$. Трехмерный же случай оказался 
значительно более трудным, и наличие эффекта множественности было доказано 
лишь в 1997 году (J.Byeon), причем с помощью гораздо более сложной техники. 
Это связано со структурой группы вращений сферы в ${\mathbb R}^3$.

В докладе предполагается сделать обзор упомянутых результатов, а также 
рассказать об их распространении (при $n\ne3$) на задачу
$$-\Delta_p u=u^{q-1}\ \mbox{\rm{\в}}\ \Omega, \quad u|_{\partial\Omega}=0$$
(здесь $\Delta_p=D_i(|\nabla u|^{p-2}D_iu)$ -- так называемый $p$-лапласиан), для 
которой были получены также некоторые новые эффекты.