Seminar po malomernoj matematike "Moskva-Peterburg"
SPb, POMI, 15.11.2002, 16:00--17:45, aud. 311

A.I.Nazarov.
Mnozhestvennost' reshenij zadachi "reaktsija-diffuzija" v sfericheskom sloe: chem 
trehmernoe prostranstvo otlichaetsja ot vseh ostal'nyh?

Dvadtsat' let nazad bylo obnaruzheno (C.V.Coffman), chto kraevaja zadacha
$$-\Delta u=u^{q-1}\ \mbox{\rm{v}}\ \Omega, \quad u|_{\partial\Omega}=0$$
v kol'tse $\Omega=B_{R_2}\setminus B_{R_1}$ na ploskosti dopuskaet pri $q>2$ ljuboe 
napered zadannoe chislo suschestvenno razlichnyh polozhitel'nyh reshenij, esli 
kol'tso dostatochno tonkoe (t.e. $\epsilon=R_2/R_1-1$ dostatochno malo). 

Vposledstvii etot rezul'tat byl obobschen (Y.Y.Li) na zadachu v sfericheskom 
sloe v ljuboj razmernosti, krome $n=3$. Trehmernyj zhe sluchaj okazalsja 
znachitel'no bolee trudnym, i nalichie effekta mnozhestvennosti bylo dokazano 
lish' v 1997 godu (J.Byeon), prichem s pomosch'ju gorazdo bolee slozhnoj tehniki. 
Eto svjazano so strukturoj gruppy vraschenij sfery v ${\mathbb R}^3$.

V doklade predpolagaetsja sdelat' obzor upomjanutyh rezul'tatov, a takzhe 
rasskazat' ob ih rasprostranenii (pri $n\ne3$) na zadachu
$$-\Delta_p u=u^{q-1}\ \mbox{\rm{\v}}\ \Omega, \quad u|_{\partial\Omega}=0$$
(zdes' $\Delta_p=D_i(|\nabla u|^{p-2}D_iu)$ -- tak nazyvaemyj $p$-laplasian), dlja 
kotoroj byli polucheny takzhe nekotorye novye effekty.