Семинар по маломерной математике "Москва-Петербург"
СПб, ПОМИ, 06.12.2002, 16:00--17:45, ауд. 311

"Обобщенное уравнение Лагранжа, разрешимость и свойства решений"
В.С.Кальницкий

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение
$$F(f'(x),f'(y))=\frac{f(x)-f(y)}{x - y},$$
где $F$ --- обобщенное среднее, т.е. функция, обладающая свойствами
$F(u,u)=u$, $F(u,v)=F(v,u)$. а решения ищутся в классе
выпуклых (вогнутых) функций $f(x)$ на отрезке $[0,1]$.
Ж.-Л.~Лагранж доказал, что для среднего арифметического $F(u,v)=(u+v)/2$ 
общее решение этого уравнения состоит из полиномов второй степени.
Можно указать конкретный вид левой части, для которой решениями будут
полиномы 3-й степени.

В 1993 году M.~Kuczma заметил, что для гармонического и
геометрического среднего решениями будут конические сечения. 
В докладе описывается совокупность всех средних, для которых решения 
таковы. Критерий представимости функции $F$ в соответствующем виде 
дается в терминах отношения двух определителей, составленных из различных
сечений функции $F$. Эта часть доклада перекликается с задачей С.В.~Дужина
о разложимых кососимметрических функциях из списка 
``Маломерные задачи -- 2001''.

Помимо этого, обсуждаются связи полученных результатов с геометрией
поверхности $z=F(x,y)$, с теорией обобщенных средних, операционным 
исчислением и теорией производственных функций (термин математической 
экономики).

--------------------------------------
Домашняя страница семинара http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma