Moscow--Petersburg seminar on low-dimensional mathematics SPb, PDMI, 06.12.2002, 16:00--17:45, room 311 "Obobschennoe uravnenie Lagranzha, razreshimost' i svojstva reshenij" V.S.Kal'nitskij Rassmatrivaetsja funktsional'no-differentsial'noe uravnenie $$F(f'(x),f'(y))=\frac{f(x)-f(y)}{x - y},$$ gde $F$ --- obobschennoe srednee, t.e. funktsija, obladajuschaja svojstvami $F(u,u)=u$, $F(u,v)=F(v,u)$. a reshenija ischutsja v klasse vypuklyh (vognutyh) funktsij $f(x)$ na otrezke $[0,1]$. Zh.-L.~Lagranzh dokazal, chto dlja srednego arifmeticheskogo $F(u,v)=(u+v)/2$ obschee reshenie etogo uravnenija sostoit iz polinomov vtoroj stepeni. Mozhno ukazat' konkretnyj vid levoj chasti, dlja kotoroj reshenijami budut polinomy 3-j stepeni. V 1993 godu M.~Kuczma zametil, chto dlja garmonicheskogo i geometricheskogo srednego reshenijami budut konicheskie sechenija. V doklade opisyvaetsja sovokupnost' vseh srednih, dlja kotoryh reshenija takovy. Kriterij predstavimosti funktsii $F$ v sootvetstvujuschem vide daetsja v terminah otnoshenija dvuh opredelitelej, sostavlennyh iz razlichnyh sechenij funktsii $F$. Eta chast' doklada pereklikaetsja s zadachej S.V.~Duzhina o razlozhimyh kososimmetricheskih funktsijah iz spiska ``Malomernye zadachi -- 2001''. Pomimo etogo, obsuzhdajutsja svjazi poluchennyh rezul'tatov s geometriej poverhnosti $z=F(x,y)$, s teoriej obobschennyh srednih, operatsionnym ischisleniem i teoriej proizvodstvennyh funktsij (termin matematicheskoj ekonomiki). -------------------------------------------------- Seminar home-page http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma