Семинар по маломерной математике
19 декабря 2003

Виктор Александров (Новосибирск)
"Изгибаемые многогранники: основные достижения и открытые проблемы".

Многограник (точнее - многогранная поверхность) в
трехмерном евклидовом пространстве называется изгибаемой, если, не
изменяя форму и размеры ее граней, можно изменить ее пространственную
форму непрерывной деформацией за счет только изменения двугранных
углов. Я имею ввиду рассказать основные результаты, известные к
настоящему времени об изгибаемых многогранниках и сформулировать
некоторые нерешенные вопросы.

Основные результаты таковы: не существует выпуклых изгибаемых
многогранников (Коши, 1813); в евклидовом, сферическом и
гиперболическом трехмерных пространствах существуют погруженные изгибаемые
многогранники, гомеоморфные сфере (Коннелли, 1976); каждый изгибаемый
многогранник в трехмерном евклидовом пространстве сохраняет объем и
среднюю кривизну в процессе изгибания (Сабитов, 1996 и Александер,
1985); в трехмерном сферическом пространстве сущестует изгибаемый
многогранник, не сохранящий объем в процессе изгибания (Александров,
1997); существуют изгибаемые (невложенные) многогранники в
четырехмерном евклидовом пространстве (Штахель, 2000).

Из нерешенных проблем я намерен упомянуть, прежде всего такие: Верно
ли, что всякий компактный изгибаемый многогранник в трехмерном
гиперболическом пространстве сохраняет объем в процессе изгибания?
Верно ли, что если один многогранник трехмерного евклидова
пространства получен из другого непрерывным изгибанием, то эти
многогранники равносоставлены? Существуют ли изгибаемые многогранники
гомеоморфные сфере в пяти- и более мерном евклидовом пространстве?