Семинар Москва--Петербург по маломерной математике 10 сентября 2004 Гипотеза А.В.Александрова, гиперболические виртуальные многогранники и гиперболические веера Гаянэ Панина Нетривиальные примеры гиперболических виртуальных многогранников появились как вспомогательная конструкция для построения контрпримеров к следующей гипотезе А.Д. Александрова: Пусть $K \subset \Bbb R^3$ - гладкое тело. Если существует такая константа $C$, что в каждой точке $ \partial K$ выполнено неравенство $R_1 \leq C \leq \R_2$, то тело $K$ - шар. ($R_1$ и $R_2$ обозначают главные кривизны $\partial K$). Долгое время специалисты были убеждены в справедливости гипотезы, однако были получены лишь частные результаты. Недавно Y.Martinez-Maure (2001) привел контрпример к гипотезе. Вначале он показал, что каждый гладкий {\it гиперболический хериссон} порождает желаемый контрпример, а затем привел пример такого хериссона, а именно, $C^2$- гладкую седловую поверхность с четырьмя рогами, заданную явной формулой. Оказалось, что этот пример не единственный: Г. Панина построила серию гиперболических хериссонов с любым четным числом рогов. Позже выяснилось, что контрпримеры еще более разнообразны: в 2004 г. Г. Панина построила новые гиперболические хериссоны, в т.ч. с нечетным числом рогов. В докладе будут рассмотрены веера гиперболических виртуальных многогранников, имеющие интересные комбинаторные свойства. Ребра таких вееров допускают т.наз. правильную раскраску, кодирующую некоторые свойства гиперболических виртуальных многогранников. Например, клетка веера соответствует рогу многогранника тогда и только тогда, когда цвет ребер меняется ровно два раза при обходе клетки. Гиперболические виртуальные многогранники можно классифицировать по числу рогов. Однако существует более тонкая классификация,связанная с конфигурациями непересекающихся ориентированных больших полукругов на сфере. Регулярные триангуляции гиперболических вееров представляют особый интерес: они связаны с уточнением теоремы А.Д. Адександрова о единственности выпуклых многогранников. --- http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma