Семинар по маломерной математике "Москва-Петербург"
15 октября 2004

А.Малютин
Дестабилизация в группе кос.

Вопросы, которым посвящен доклад, относятся к теории групп кос, классических
узлов и зацеплений в R^3, а также теории автоморфизмов поверхностей.
Центральным объектом доклада является новый алгоритм, позволяющий
определить, допускает ли заданная замкнутая коса дестабилизацию Маркова.

Как известно, любое классическое зацепление в R^3 представимо в виде
замкнутой косы. Преобразования Маркова --- стабилизация и дестабилизация ---
взаимно обратны и представляют собой, грубо говоря, "набрасывание"
дополнительной петли на замкнутую косу и "снятие" петли, соответственно. В
результате такого преобразования мы получаем из замкнутой косы другую
замкнутую косу, представляющую то же зацепление, что и исходная. Теорема
Маркова утверждает, что если две замкнутые косы представляют одно и то же
зацепление, то от одной из них можно перейти к другой с помощью стабилизаций
и дестабилизаций.

Ясно, что эта теорема может служить подходом к созданию алгоритма,
позволяющего эффективно распознавать зацепления. На пути практической
реализации такого подхода возникает множество интересных проблем, многие из
которых уже долгое время остаются открытыми. Одной из первых встает проблема
распознавания возможности дестабилизации косы. (В то время, как стабилизация
может быть применена к любой косе, причем множеством способов, "большинство"
кос дестабилизацию не допускают). Эта проблема имеет естественное обобщение
--- распознавание возможности применения к данной косе преобразований
Бирман--Менаско.

Оказывается, задачи распознавания возможных преобразований косы можно свести
к вопросам о поведении изотопических классов кривых на поверхности под
действием автоморфизма поверхности, что ставит их в один ряд с такими
задачами как, например, распознавание типа косы в классификации
Нильсена--Терстона.

---
http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma