Семинар по маломерной математике Москва--Петербург 20 мая 2005 г Ф.Дужин Периодические траектории обобщенных биллиардов Пусть $T\subset\R^2$ --- строго выпуклая область с гладкой границей $M=\partial T$. Биллиардный шар --- это точка, движущаяся внутри области $T$ по прямой и отражающаяся от границы так, что угол падения равен углу отражения. Классическая задача, впервые поставленная Джорджем Биркгофом --- если дано натуральное число $k$, оценить снизу количество замкнутых $k$-звенных траекторий биллиарда. Биркгоф доказал, что всегда существует не менее $\varphi(k)$ замкнутых $k$-звенных траекторий биллиарда, где $\varphi(k)$ обозначает функцию Эйлера, то есть количество взаимно простых с $k$ натуральных чисел, меньших $k$. Биркгоф рассматривал биллиарды на плоскости, где граница области, по которой движется шар, гомеоморфна окружности. Можно естественным образом обобщить определение замкнутой биллиардной траектории, позволив биллиардному шару <<отражаться>> от произвольного подмногообразия $M$ евклидова пространства $\R^n$. Нам удалось доказать, что для любого простого $p$ число $p$-звенных замкнутых траекторий у такого биллиарда не менее ${\frac{(B-1)((B-1)^{p-1}-1)}{2p}+\frac{mB}{2}(p-1)}$, где $m$ --- размерность, а $B=\sum\dim H_i(M;\Z_2)$ --- сумма чисел Бетти многообразия $M$. Биллиардные траектории неожиданным образом связаны с некоторыми областями математики. Например, минимальное количество замкнутых биллиардных траекторий для всех реализаций узла в трехмерном пространстве --- инвариант узла, по-видимому, ранее не известный и еще не изученный, да и вообще здесь имеется целый ряд интересных открытых проблем. ----- http://www.pdmi.ras.ru/~lowdimma