A.Б.Александров, "Функция класса $\Lambda_\alpha$ как функция от самосопряжённого оператора"
(по совместной работе с В.В.Пеллером)

Аннотация:

Пусть f=f(t) -- непрерывная функция вещественной переменной t. Тогда она определяет функцию f=f(A) самосопряжённого оператора A.

Теорема 1. Пусть функция f(t) удовлетворяет условию Гёльдера порядка \alpha, \alpha<1. Тогда функция f(A) тоже удовлетворяет условию Гёльдера порядка \alpha. Как известно, при \alpha=1 (то есть для функций, удовлетворяющих условию Липшица) соответствующее утверждение не имеет места. Аналог теоремы 1 имеет место для классов Зигмунда. На самом деле справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. Предположим, что n-ые конечные разности функции f(t) с шагом h допускают оценку O(|h|^\alpha), причём 0<\alpha< n. Тогда n-ые
конечные разности функции f(A) с шагом K (где K обозначает самосопряжённый оператор) допускают оценку O(\|K\|^\alpha).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Предположим, что оператор K принадлежит классу фон Неймана--Шаттена S_p при p>n. Тогда n-ые конечные разности функции f(A) с шагом K принадлежат классу S_{p/\alpha}.

Теоремы 1, 2, 3 распространяются также на случай неограниченных самосопряжённых операторов A. Аналогичные результаты имеют место для унитарных операторов и для сжатий.