\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage{amssymb,amsmath} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{epsfig,graphicx} % \input ris.tex % \addrisoption{\risleftfalse} \usepackage{pict2e} \usepackage{tikz} \DeclareRobustCommand{\No}{\ifmmode{\nfss@text{\textnumero}}\else\textnumero\fi} \catcode`\@=11 \def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}} \def\nekratno{\mathrel{\mathpalette\c@ncel\kratno}} \def\c@ncel#1#2{\m@th\ooalign{$\hfil#1\mkern1mu/\hfil$\crcr$#1#2$}} \def\divis{\smash{\lower.1ex\hbox{\,\hbox{.}\kern-.22em\lower-.6ex\hbox{.} \kern-.52em\lower-1.2ex\hbox{.}\,}} } \hyphenation{чис-ло чис-ла чис-лу чис-лом чис-ле чис-лам чис-ла-ми чис-лах че-ты-рех-уголь-ник че-ты-рех-уголь-ни-ка пря-мо-уголь-ник тре-уголь-ни-ка тре-уголь-ни-ков вне-впи-сан-ной вне-впи-сан-ных} \sloppy \pagestyle{empty} \def\q#1.{{\bf #1. }} \def\btable#1#2#3\endbtable{{% \offinterlineskip\def\\{\cr\noalign{\hrule}}\halign {\strut\vrule\hbox to #1{\hfil#2\hfil}\vrule width 1.5 pt&&\hbox to #1{\hfil#2\hfil}\vrule\cr\noalign{\hrule}#3}}} \begin{document} \centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ} \centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ} \centerline{\sc I тур. \ 6 класс.} \medskip \hrule \bigskip \q1. У Саши в гербарии четыре вида листьев --- красные кленовые, жёлтые кленовые, жёлтые березовые и жёлтые липовые. Жёлтых листьев у Саши столько же, сколько кленовых, а~березовых~--- столько же, сколько липовых, но на 5 меньше, чем красных. Сколько у~Саши липовых листьев? \q2. В клетчатой доске $9 \times 9$ просверлили 8 дырок во всех восьми узлах, лежащих на диагонали, соединяющей левый нижний и правый верхний угол. Затем доску распилили по линиям сетки на 11 деталей, причем каждая деталь имеет форму прямоугольника и не содержит дырок внутри (все дырки оказались на границах деталей). Обязательно ли найдутся две детали равной площади? \q3. По кругу написаны цифры: 8, 4, 2, 1, 0, 5, 6 (именно в~таком порядке по часовой стрелке). Тая записывает многозначное число, выписывая цифры по одной, двигаясь по часовой стрелке, начиная с цифры 8. Выписав несколько цифр, она останавливается. Например, у неё может получиться число 842, или число 842105684, или число 84210568421056842105. Могло ли у Таи получиться простое число? \q4. В парадной жилого дома сто квартир. На первом этаже расположены квартиры с номерами 1, 2, 3, 4, на втором --- 5, 6, 7, 8 и т.\,д. Назовём две квартиры \emph{соседними}, если они находятся на одном этаже или если их номера отличаются на 4 (в этом случае одна располагается над другой). В~каждой квартире живёт один человек, при этом у каждого жильца в соседних квартирах есть хотя бы два его однофамильца. Какое наибольшее число разных фамилий может быть у жителей парадной? \clearpage \centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ} \centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ} \centerline{\sc I тур. \ 7 класс.} \medskip \hrule \bigskip \q1. Можно ли разрезать квадрат $10\times 10$ по клеточкам на 88 прямоугольников так, чтобы из каких-то пяти из них удалось составить прямоугольник $3\times 6$? (Прямоугольники при этом можно поворачивать.) Не забудьте обосновать ответ. \q2. Филле, Рулле и Оскар взяли из ящика несколько конфет (в~ящике ещё остались конфеты), причём у Оскара оказалось конфет больше, чем у Филле и Рулле вместе. Тогда Филле взял половину конфет, оставшихся в ящике. А Рулле забрал треть конфет Оскара. И оказалось, что у Оскара конфет стало в три раза меньше, чем у~Филле и Рулле вместе. Докажите, что изначально эти трое взяли не более 60\% находившихся в ящике конфет. \q3. Петя разделил число $N$ с остатком на 31, 32, 33, 34 и получил остатки 1, 4, 7, 10 в некотором порядке. Вася разделил то же самое число $N$ на 85, 86, 87, 88 и получил остатки 1, 2, 5, 8 в некотором порядке. Докажите, что кто-то из них ошибся. \q4. На круговом шоссе расположено 15 столбов. Антон посчитал длины всех кратчайших путей между ними (по шоссе) и обнаружил, что все они различны и каждое из них составляет целое число километров. Докажите, что длина шоссе а) не меньше 210 км; б) больше 210 км. \clearpage \centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ} \centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ} \centerline{\sc I тур. \ 8 класс.} \medskip \hrule \bigskip \q1. Можно ли разрезать квадрат $10\times 10$ по клеточкам на 88 прямоугольников так, чтобы из каких-то пяти из них удалось составить прямоугольник $3\times 6$? (Прямоугольники при этом можно поворачивать.) \q2. На доске написаны три положительных числа. Произведение первого и второго числа отличается от среднего арифметического их квадратов на~$1/2$. Произведение второго и третьего числа отличается от среднего арифметического их квадратов на~$2$. На сколько может отличаться произведение первого и третьего числа от среднего арифметического их квадратов? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет. \q3. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABD$ и $BCD$ равны. Известно, что $\angle ADB = 90^\circ$. Точка $M$~--- середина стороны $BC$. Докажите, что $MC+CD\geq AM$. \q4. Натуральное число $m$ называется \emph{особым}, если существует такой набор из 80 последовательных натуральных чисел, что среди них есть число $m$, а каждое из остальных чисел этого набора взаимно просто с $m$. Какой наибольший НОД может быть у двух различных особых чисел, не превосходящих 1900? \q5. Пусть $S$~--- бесконечная строка из цифр. Для натурального $k$ обозначим через $S_k$ бесконечную строку, получаемую из исходной строки выписыванием её $k$-й, $2k$-й, $3k$-й, $4k$-й, \dots цифр. Известно, что при любых натуральных $n>m>7$ строки $S_n$ и $S_m$ не совпадают. Может ли оказаться, что при некотором $n>7$ строка $S_n$ совпадает со строкой $S_7$? \clearpage \centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ} \centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ} \centerline{\sc I тур. \ 9 класс.} \medskip \hrule \bigskip \q1. В ряд выписывают числа: 4, 11, 13, 15, 17,~\dots \ Каждое число, начиная с четвертого, равно наименьшей из всех возможных сумм двух уже написанных (различных) чисел, которая ещё не встречается в этом ряду. Какое число окажется на 2025-м месте в этом ряду? Не забудьте обосновать ответ. \q2. Красный и синий баки заполняются водой~--- каждый своим шлангом. Шланги были включены одновременно, а когда красный бак заполнился на одну пятую, шланги поменяли местами. После этого оба бака заполнились одновременно. Объём синего бака 100~л. Какой наибольший объём мог иметь красный бак? (Скорость вытекания воды из каждого шланга постоянна, эти две скорости не обязательно равны.) \q3. Натуральное число $k$ называется \emph{особым}, если существует такой набор из пятидесяти последовательных натуральных чисел, что среди них есть число $k$, а каждое из остальных чисел этого набора взаимно просто с $k$. Какой максимальный НОД может быть у двух различных особых чисел, не превосходящих 2000? \q4. Федя выбирает такие натуральные числа $n$, $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$, что \linebreak $ a_1+a_2+\ldots+a_n\leq 25n. $ Дима хочет разместить в таблице с $100$ строками и $n$ столбцами $n$ связных клетчатых фигурок так, чтобы фигурки не имели общих клеток и при всех $i$, $1\leq i\leq n$, выполнялось свойство: \smallskip {\leftskip=2.4cm\rightskip=2.4cm\slshape\centering $i$-я фигурка состоит из $a_i$ клеток \\и содержит хотя бы одну клетку $i$-го столбца.\par} \smallskip\noindent Может ли Федя выбрать такие числа, чтобы Диме не удалось выполнить своё желание? (Фигурка называется \emph{связной}, если от любой ее клетки до любой другой можно дойти, переходя из клетки в соседнюю по стороне и не выходя за пределы фигурки.) \q5. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. На стороне $AB$ отмечена точка $E$. Известно, что $\angle ABD=2\angle CBD$, $\angle BED=2\angle ACB$ и $\angle BDC=117^\circ$. Описанная окружность треугольника $ACE$ пересекает отрезок $BC$ в точке $F$. Точка $M$~--- середина отрезка $EF$. Найдите $\angle BDM$. \clearpage \centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ} \centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ} \centerline{\sc I тур. \ 10 класс.} \medskip \hrule \bigskip \q1. Даны десять ненулевых вещественных чисел $x_1$, $x_2$,~\ldots, $x_{10}$ из интервала $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$. Известно, что $$\tg(x_1)\cdot(x_1-x_2)=\tg(x_2)\cdot(x_2-x_3)=\ldots=\tg(x_{10})\cdot(x_{10}-x_1)=2025.$$ Найдите $\ctg(x_1)+\ctg(x_2)+\ldots+\ctg(x_{10})$. \q2. Красный и синий баки заполняются водой~--- каждый своим шлангом. Шланги были включены одновременно, а когда красный бак заполнился на одну пятую, шланги поменяли местами. После этого оба бака заполнились одновременно. Объем синего бака 100~л. Какой наибольший объем мог иметь красный бак? (Скорость вытекания воды из каждого шланга постоянна, эти две скорости не обязательно равны.) \q3. Дан четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle A = \angle B = 80^\circ$, $\angle C = 38^\circ$. Известно, что окружность $\omega$, проходящая через точки $B$ и $C$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$, касается прямой $CD$. Из точки $D$ к окружности $\omega$ проведена вторая касательная $DE$. Найдите угол $AEC$. \q4. В городе есть несколько клубов. Два клуба назовём похожими, если у них есть общий член. Оказалось, что у каждого клуба ровно два похожих, а каждый житель состоит или в одном клубе, или в~двух похожих. У мэра есть два списка. В первом записаны численности всех клубов. Во втором для каждых двух похожих клубов написано количество людей, состоящих одновременно в них обоих. Оказалось, что для любого числа из первого списка во втором списке найдется в два раза меньшее число. Докажите, что есть два клуба, в которых поровну членов. \q5. У каждого из чисел {\large $\frac1{2023}$}, {\large $\frac2{2023}$}\vadjust{\vskip2pt}, \dots, {\large $\frac{2022}{2023}$} нашли седьмую цифру после запятой в десятичной записи. Какая цифра --- 6 или 7 --- встретилась больше раз, и на сколько? \clearpage \centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ} \centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ} \centerline{\sc I тур. \ 11 класс.} \medskip \hrule \bigskip \q1. Бригада из десяти землекопов должна копать котлован. Все они копают с~одинаковой постоянной скоростью. Землекоп Чиклин пришел на работу к~9:00~--- к~началу рабочего дня. Остальные землекопы подходили по одному~--- каждый опоздал на какое-то время, но в итоге все пришли. Землекопы одновременно закончили работать в 18:00. Из-за опозданий они успели сделать лишь ту работу, которая по плану должна была завершиться в 15:00. (Перерывов в работе не было и не планировалось.) Докажите, что между приходом какого-то землекопа и~приходом следующего прошло не менее 40 минут. \q2. Точки $M$, $K$ и $N$~--- середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$ параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'$ (не обязательно прямоугольного). Известно, что $A'N = B'M$. Докажите, что $AC\perp B'K$. \q3. Назовем натуральное число $a$ \emph{интересным}, если существует такой набор из ${2\cdot (100!)^{50}-105}$ последовательных натуральных чисел, что среди них есть число $a$, а каждое из остальных чисел этого набора взаимно просто с $a$. Докажите, что любое интересное число, меньшее $(100!)^{100}$, является простым. (Через 100! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до 100.) \q4. В городе есть несколько клубов. Два клуба назовём \emph{похожими}, если у~них есть общий член. Оказалось, что у каждого клуба ровно два похожих, а каждый житель состоит или в одном клубе, или в~двух похожих. У мэра есть два списка. В первом записаны численности всех клубов. Во втором для каждых двух похожих клубов написано количество людей, состоящих одновременно в них обоих. Оказалось, что для любого числа из первого списка во втором списке найдется в два раза меньшее число. Докажите, что есть два клуба, в~которых поровну членов. \q5. Федя выбирает такие натуральные числа $n$, $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$, что \linebreak $ a_1+a_2+\ldots+a_n\leq 2n. $ Дима хочет разместить в таблице с $2025$ строками и $n$ столбцами $n$ связных клетчатых фигурок так, чтобы фигурки не имели общих клеток и при всех $i$, $1\leq i\leq n$, выполнялось свойство: \smallskip {\leftskip=2.4cm\rightskip=2.4cm\slshape\centering $i$-я фигурка состоит из $a_i$ клеток \\и содержит хотя бы одну клетку $i$-го столбца.\par} \smallskip\noindent Может ли Федя выбрать такие числа, чтобы Диме не удалось выполнить своё желание? (Фигурка называется \emph{связной}, если от любой ее клетки до любой другой можно дойти, переходя из клетки в соседнюю по стороне и не выходя за пределы фигурки.) \end{document}