Доклад посвящен исследованию нового класса 3-многообразий, задаваемых
4-регулярными графами, оснащенными тройками эйлеровых циклов специального
вида.Два эйлеровых цикла в графе называют совместимыми, если у них не
имеется общей пары последовательных ребер. Конечный связный 4-регулярный
граф, обладающий тройкой попарно совместимых эйлеровых циклов, мы называем
3-эйлеровым, а саму такую тройку -- оснащением. Известно, что все вершинно
3-связные простые 4-регулярные графы являются 3-эйлеровыми.
Каждый оснащенный 3-эйлеров граф $G$ с $n$ вершинами определяет компактное
3-многообразие $M$ с непустым краем. А именно, приклеив к $G$ по одной
двумерной клетке вдоль каждого из трех циклов оснащения, мы получим так
называемый специальный спайн, однозначно задающий $М$. Обозначим через
$M_n$ класс всех таких многообразий. Мы доказали, что при $n>2$ каждое
многообразие из $M_n$ является гиперболическим со связным вполне
геодезическим краем, его сложность Матвеева, равна $n$, а число элементов
в $M_n$ при всех достаточно больших $n$ превышает $(n/9)^n$.
Доклад основан на совместной работе А.В. Малютина, Е.А. Фоминых и Е.В.
Шумаковой, выполненной при поддержке Российского научного фонда (проект
19-11-00151).

На позапрошлом семинаре Нина Лебедева рассказала нам про границу Морса,

введенную R. Charney, H. Sultan и M. Cordes.
Я расскажу результат работы Ruth Charney, Matthew Cordes и Alessandro Sisto
(arxiv.org/pdf/1908.03542.pdf), в которой описываются границы Морса
некоторого класса метрических пространств, включающего в себя
фундаментальные группы граф-многообразий.

В работе "Асимптотическая размерность гиперболического пространства и
емкостная размерность его границы на бесконечности" (1995)
С.В. Буяло определил понятие емкостной размерности (capacity dimension)
метрического пространства. Эта размерность
введена главным образом для оценки асимптотической размерности
гиперболических пространств через размерность их границы на бесконечности.
В работе "Morse Boundaries of Proper Geodesic Metric Spaces"
M. Cordes определяет новое понятие границы на бесконечности для
собственных геодезичеких пространств, которое в отличие от обычной
инвариантна при квазиизометрических отображениях. (Как показали Кроук и
Кляйнер
существуют квазиизометричные CAT(0) простраства с негомеоморфными
обычными границами видимости на бесконечности). В этой же работе вводится
квазиизометрический инвариант Morse capacity dimension, который является
прямым обобщением  емкостной размерности границы на бесконечности.
Я расскажу об этих и связанных вопросах, в том числе по работе
A survey on Morse boundaries & stability
Matthew Cordes
https://arxiv.org/pdf/1704.07598.pdf

В 1932 году Стефан Банах задал следующий вопрос: верно ли, что если у банахова пространства B (вещественного или комплексного) размерности n (не обязательно конечной) все подпространства фиксированной конечной размерности 1 < k < n изометричны между собой, то B есть гильбертово пространство. Частичные положительные ответы на этот вопрос были получены Ауэрбахом, Мазуром и Уламом (1935), Дворецким (1959), Громовым (1967), Мильманом (1971), Бором, Ламонедой, Хименез-Десантьяго и Памбертом (2019). Вопрос остается открытым для случая вещественного пространства при k + 1 = n кратных 4 и k + 1 = n = 134.

В 2017 году С. В. Ивановым был дан положительный ответ для локальной (более сильной) версии задачи Банаха в вещественном случае для всех n > k = 2. В докладе мы дадим несколько формулировок глобальной и локальной задачи Банаха, сделаем краткий обзор существующих решений и представим набросок решения локальной задачи Банаха для k + 1 = n = 4. Доклад основан на work in progress С. В. Иванова, Дани Мамаева и Ани Нордсковой