В докладе пойдет речь о двух гипотезах теории узлов.
Первая утверждает, что доля гиперболических узлов среди простых узлов с n
перекрестками стремится к 1 при росте n.
Вторая гипотеза говорит об аддитивности числа перекрестков при связном
суммировании.
В ходе доклада будет доказано, что хотя бы одна из этих гипотез не верна.

We will show that any area-preserving homeomorphism of the
2-sphere that displaces a set of fixed area moves some point farther
than an area-dependent constant. Although the statement of this
problem is elementary, it seems to be very difficult to give a direct
geometric proof.
Instead, we will use tools from symplectic geometry. In the plane, the
energy capacity inequality and continuity for the Hofer norm can solve
this problem. On the sphere, however, we will need several recent
results regarding the spectral norm for symplectomorphisms. (This is a
joint work with D. Dore)

Исследование поверхностей в 3-х мерном евклидовом пространстве,
упомянутых в названии доклада, мотивируется возможными применениями их
в архитектуре. Полная классификация таких поверхностей является
сложной нерешенной проблемой. Мы дадим ряд примеров таких
поверхностей, покажем, как проблема сводится к алгебраической, и
приведем некоторые результаты, касающиеся последней задачи.
В старой теореме Дарбу утверждается, что поверхность, через каждую
точку которой проходит достаточно много окружностей, лежащих на ней,
является так называемой циклидой Дарбу. Циклиды Дарбу - это
алгебраические поверхности степени не более 4, их класс включает
циклиды Дюпона и квадрики. Через каждую точку циклиды Дарбу проходит
до 6 таких окружностей. Мы показываем, что определенные тройки
семейств окружностей образуют так называемые шестиугольные 3-ткани, и
даем полную классификацию всех возможных шестиугольных 3-тканей из
окружностей на всех поверхностях, кроме сфер и плоскостей.
Другой класс поверхностей с двумя окружностями через каждую точку
получается с помощью параллельных переносов Клиффорда одной окружности
вдоль другой в пространстве или в 3-мерной сфере. Этот класс хорошо
описывается кватернионами, и наш подход к общей задаче классификации
поверхностей с несколькими окружностями через каждую точку состоит в
использовании кватернионных рациональных параметризаций.
Большая часть доклада элементарна и доступна даже школьникам. В
докладе будет сформулировано несколько нерешенных проблем. Также мы
покажем много поверхностей, содержащих несколько окружностей через
каждую точку.

Будет рассказано новое доказательство классической
теоремы Хелли (о пересечениях выпуклых множеств) справедливое
для CAT(0) и аналогичных пространств.