Joint work with Pengbo Bo, Michael Barton, Helmut Pottmann.

Motivated by applications in engineering, we provide characterizations of
surfaces which are enveloped by a one-parametric
family of congruent cones. As limit cases we also address developable
surfaces and ruled surfaces. The
characterizations are higher-order nonlinear PDEs generalizing the ones by
Gauss and Monge. In process
we reconstruct the positions of the cones for a given envelope. The
methodology is based on the isotropic
model of Laguerre geometry, which transforms an envelope to a surface
containing a special conic through each point.
Most of the talk is explained in figures and is accessible to
undergraduate students. The work was prepared within
the framework of the Academic Fund Program at the National Research
University Higher School of Economics (HSE)
in 2018-2019 (grant N18-01-0023) and by the Russian Academic Excellence
Project ``5-100''.

Гипотеза о типичности гиперболических узлов утверждает, что доля
гиперболических узлов среди всех простых узлов с n и менее перекрестками
стремится к 1 при росте n. Имеющаяся статистика косвенно подтверждает эту
гипотезу: простых узлов с не более чем 19 перекрестками – более трети
миллиарда, и лишь 394 из них – менее тысячной доли процента – не являются
гиперболическими. Несколько лет назад я делал доклад о том, что гипотеза о
типичности гиперболических узлов противоречит ряду других правдоподобных гипотез, а в прошлом году – доклад о том, что аналог гипотезы о типичности гиперболических узлов не верен для случая зацеплений. В августе этого года нам с Юрием Белоусовым удалось наконец опровергнуть гипотезу о типичности гиперболических узлов. Более того, оказалось, что для любого нетривиального узла доля его сателлитов среди всех простых узлов с n и менее перекрестками не стремится к нулю при росте n.

https://arxiv.org/abs/1908.06187

Пусть задано гладкое распределение плоскостей в евклидовом пространстве.
Существует ли поверхность, касательная к этому распределению во всех
точках? Ответ на этот вопрос отрицательный, если распределение плоскостей
неинволютивно. В докладе будут обсуждаться аналогичный вопрос для более
слабых аналогов поверхностей - потоков и задающих их мер.

Доклад по совместной работе с D. Burago и D. Chen.

В серии из двух докладов я расскажу доказательство следующего результата:
для любой интегрируемой гамильтоновой системы существуют сколь угодно малые возмущения гамильтониана такие, что возмущенная система имеет положительную метрическую энтропию, причем энтропия генерируется в сколь угодно малой окрестности одной периодической орбиты. Например, интегрируемой системой является геодезический поток плоского двумерного тора, в этом случае возмущенная система реализуется геодезическим потоком финслеровой метрики.

В первой части будет обзор необходимых понятий и сведений о гамильтоновых системах вообще и интегрируемых системах в частности, а также план доказательства основного результата.