по работе

THE BOUNDARY CONJECTURE FOR LEAF SPACES
KARSTEN GROVE, ADAM MORENO, AND PETER PETERSEN
https://arxiv.org/pdf/1804.01656.pdf

В работе доказано, что граница пространства Аександрова ограниченной
снизу кривизны также является пространством Александрова ограниченной
снизу кривизны в частном случае, когда исходное пространство является
leaf space сингулярных римановых слоений (в частном случае,
пространством орбит изометрического действия групп).

Известная гипотеза утверждает, что доля гиперболических узлов среди всех
простых узлов с n и менее перекрестками стремится к 1 при росте n.
Несколько лет назад я делал доклад о том, что эта гипотеза противоречит
ряду других правдоподобных гипотез, включая гипотезу об аддитивности числа перекрестков при связном суммировании. В новом докладе речь пойдет о новом связанном с этим вопросом результате: аналог гипотезы о  гиперболичности удалось опровергнуть в случае зацеплений. Более того, удалось показать, что для любого нетривиального узла доля его сателлитов среди всех простых нерасщепимых зацеплений с n и менее перекрестками не стремится к нулю при росте n.

Меандром называется рассматриваемая с точностью до изотопии конфигурация на плоскости, состоящая из прямой и простой

замкнутой кривой, пересекающей прямую трансверсально

в конечном числе точек.

С меандрами связано множество открытых вопросов,

в частности до сих пор неизвестна асимптотика роста

количества меандров с 2n точками пересечения.

На докладе планируется рассказать об этих задачах,

а также об имеющихся способах перечисления меандров.

Гиперболическое пространство имеет на своей границе на бесконечности
геометрическую структуру, которая определяется самим пространством
и называется мебиусовой. Например, гиперболическая плоскость H^2 имеет
границей на бесконечности окружность, и индуцирует на ней каноническую
мебиусову структуру M_0.

Рассматривается обратная задача: для каких мебиусовых структур на окружности
существует их гиперболическое заполнение, т.е. такое гиперболическое
пространство с окружностью как границей на бесконечности, которое
индуцирует на ней исходную мебиусову структуру.

Естественным кандидатом на такое заполнение является (трехмерное)
пространство Harm гармонических четверок точек на окружности (в случае M_0
-- это проективизированное касательное расслоение для H^2).
С помощью гармонических четверок точек строятся на Harm так называемые
zz-ломаные (которые для M_0 являются ломаными геодезическим на H^2 со
взаимно перпендикулярными смежными сторонами),
определяются их длины, и zz-расстояние между двумя гармонические
четверками определяется как инфимум длин zz-ломаных между ними. Первая
проблема с zz-расстоянием -- является ли оно невырожденным?

Результат, о котором пойдет речь в докладе, состоит в том, что отрезки в
Harm (например, стороны zz-ломаных) являются кратчайшими в zz-расстоянии
для достаточно широкого класса мебиусовых структур на окружности. Для
канонической M_0 это очевидно и тривиально, но далеко не так в общем
случае.