Место проведения: ПОМИ РАН / МКН СПбГУ, среда 16:30–18:30.
Научные руководители: И.А. Панин и Н.А. Вавилов.
В первой части доклада будет рассказано об общем подходе к группам Чжоу с точки зрения теории смешанных мотивов, в частности, о фильтрации Блоха-Бейлинсона на группах Чжоу и о ядре отображения Абеля-Якоби. Кроме того, будет обсуждено высотное спаривание между гомологически тривиальными циклами, позволяющее устанавливать нетривиальность таких циклов.
Во второй части доклада будет рассказано о совместной работе с Д.М. Крековым. Мы строим вариант высшего высотного спаривания между такими циклами, для которых обычное высотное спаривание обращается в нуль. В качестве приложения будут построены новые примеры нетривиальных циклов в ядре отображения Абеля-Якоби.
Совместное заседание с Петербургским семинаром по теории представлений и динамическим системам.
---
Мы продолжим обсуждать ограниченное элементарное порождение групп точек
алгебраических групп над коммутативными кольцами, в первую очередь кольцами
арифметического типа (доклад от 15 февраля 2023 года). Однако, формально
знакомства с первой общеобразовательной частью доклада не предполагается,
так как мы начнем с того, что напомним основные определения, постановку задачи
и несколько классических результатов
В докладе будет рассказано об ОКОНЧАТЕЛЬНОМ решении этой классической
задачи, по крайней мере в качественном аспекте, полученном в совместной
работе автора с Борисом Кунявским, Андреем Лавреновым и Евгением Плоткиным
в марте 2023 года, уже после первого доклада, а именно, существовании для ВСЕХ
дедекиндовых колец $R$ арифметического типа ОДНОРОДНОЙ оценки на ширину
групп Шевалле $G(Ф,R)$ зависящей только от $Ф$, что завершает исследования многих
авторов в течение последних 45 лет. [Разумеется, нахождение ТОЧНОЙ границы
остается широко открытым вопросом].
Планируется также обрисовать более широкую картину, упомянув, в частности,
связь с шириной в коммутаторах, классах сопряженных элементов, вербальной
шириной и т.д., текущее состояние аналогичной задачи для групп Стейнберга и
аналогии с работами Анатолия Моисеевича Вершика и Андрея Малютина по
асимптотике графов Кэли.
The talk will be devoted to the comparison between the Kolmogorov complexity and Weil height, foreseen by Yu.I. Manin. Both objects
are functions defined on the enumerable "constructive" (to be defined) sets up an additive constant defined intuitively by the amount of
information needed to specify an element of the set. In the first half of the talk the complexity and the height will be defined on the base of
minimal background, and the standard examples will be given.
In the second half the similarities and distinctions between complexity and height will be discussed. In particular, they can not coincide since
one of them is algorithmically calculable and the other is not. Then both will be applied to arithmetic geometry and dessins d'enfants theory.
Доклад посвящен комбинаторике систем корней и групп Вейля,
носит общеобразовательный характер и будет полностью доступен
студентам младших курсов. В то же время, многие обсуждаемые
результаты и конструкции совсем недавние.
После коротких напоминаний связанных с системами корней
и группами отражений, будет рассказано о новой интерпретации
двух важнейших классификационных результатов:
1) теория Бореля---да Зибенталя---Дынкина, классификация
подсистем корней системы корней $Ф$.
2) теория Картера --- единообразная классификация классов
сопряженности группы Вейля $W(Ф)$, что имеет важнейшее значение
для классификации унипотентных классов, представлений и т.д.
Оказывается, ОБЕ эти задачи допускают единообразный ответ
в терминах НАСТОЯЩИХ диаграмм Дынкина --- для первой задачи
это было обнаружено Дынкиным и Минченко, а для второй --- нами
с Мигриным, отправляясь от работ Стекольщика.
В частности, настоящая диаграмма Дынкина $E_8$ содержит не
8 корней, а 16 и выглядит как 4x4 сетка на торе. На ней сразу
видны обычные диаграммы Дынкина всех подсистем $E_8$ и
диаграммы Картера всех классов сопряженности $W(E_8)$.
С каждой полной линейной группой GL(n, R) можно связать группу Стейнберга -- абстрактную группу, порождённую элементарными трансвекциями с очевидными соотношениями. Мы рассмотрим локализационный метод изучения этих групп, основанный на про-пополнении.
Теорема жесткости Суслина говорит следующее.
пусть $F$ - гомотопический инвариантный предпучок абелевых групп с трансферами
на категории гладких аффинных многообразий над алгебраически замкнутым полем $k$.
Пусть $n$ — натуральное число большее 1 и взаимнопростое с характеристикой поля $k$
такое,что $n.F=0$, то есть $F$ — предпучок абелевых групп экспоненты $n$.
Пусть $Х$ гладкая кривая (неприводимая) и $s$ — элемент из $F(X)$. Тогда для любых двух точек
$x$ и $у$ кривой $Х$ элементы $s(x)$ и $s(y)$ равны в группе значений $F$ на точке.
Примером такого предпучка служит К-теория Квиллена с коэффициентами в $Z/nZ$.
Следствие теоремы жесткости и вычисления Квиллена К-теории конечных полей таково
Теорема (А.А. Суслин) $K_i(F, Z/nZ)=Z/nZ$ для четных $i$. и ноль для нечетных $i$.
для любого алгебраически замкнутого поля $F$, содержащего поле $k$.
Этот же результат (ещё одна теорема А.А.Суслина ) справедлив и в характеристике ноль,
но доказательство использует совершенно другой метод.
Будет рассказана схема доказательства гипотезы Гротендика—Серра
о главных $G$-расслоениях, где $G$— редуктивная алгебраическая группа над полем.
В частности, акцент будет сделан на геометрии, стоящей за доказательством.
Будет доказано следующее. Пусть $F: Sm^{op}\to Pointed Sets$
предпучок пунктированных множеств, удовлетворяющий слабой гомотопичечкой
инвариантности и свойству Майера—Виеториса для квадратов Нисневича.
Пусть $s$ — сечение этого предпучка на неприводимом $Х$ , которое
тривиально на каком-то открытом по Зарискому множестве. Тогда оно локально тривиально в топологии Зариского.
Тривиальность сечения $s$ на $U$ по определению означает, что ограничение $s$ на $U$ совпадает отмеченной точкой в $F(U)$.
Взяв в качестве предпучка $F$ предпучок классов изоморфизма главных $G$-расслоений
($G$ --редуктивная группа), мы как следствие получим положительное решение гипотезы Гротендика—Серра для гладких могообразий над полем.
Цель доклада -- просветительская (популяризаторская). Используя известные источники, не очень просто освоить конструкцию указанной категории.
Напомним, что стабильная мотивная гомотопическая категория Воеводского позволяет строить на систематической основе теории когомологий на алгебраических многообразиях (в частности, на комплексных алгебраических многообразиях).
Наша цель -- дать простую и понятную конструкцию некоторой версии указанной категории. А именно, в докладе будет построена версия указанной категории, отправляясь от комплексных аналитических гладких многообразий и обычной комплексной топологии на них.
Будет объяснено, что modulo n версия этой категории совпадает (эквивалентна) с modulo n версией обычной (хорошо знакомой) стабильной гомотопической категории.
Будут предъявлены комплексно аналитические аналоги спектра комплексных кобордизмов, спектра комплексной К-теории и спектра Эйленберга -- Маклейна.
Если время позволит, то будет пояснено, что многие известные бесконечно кратные пространства петель могут быть реализованы гладкими комплексными аналитическими многообразиями (бесконечномерными на подобии Грассманиана), причем и сама структура бесконечно кратного пространства петель реализуется голоморфными отображениями.
Я расскажу про гамма-пространства, введенные Грэмом Сигалом для задачи распетливания. Мы обсудим что это за задача и как гамма-пространства помогают ее решить. Мы обсудим некоторые приложения, и если позволит время, конструкцию Томасона, которая строит распетливание Сигала на уровне категорий (то есть строит что-то типа "спектра категорий" почленное применение функтора нерва к которому дает распетливание Сигала).
В докладе будет рассказано о теории $c_1$-сферических бордизмов $W^*$-теории бордизмов многообразий с $c_1$-сферической стабильно комплексной структурой, то есть, такой стабильно комплексно структурой, что её детерминант индуцируется из $CP^1$. Это промежуточная теория между теориями $SU$-бордизмаов $MSU^*$ и комплексных бордизмов $MU^*$, причём $W^*$ является прямым слагаемым в $MU^*$. Несмотря на то что умножение в комплексных кобордизмах не индуцирует умножение в $W^*$, на $W^*$ можно ввести умножения с помощью проекторов $MU^*\to W^*$. Можно показать, что произвольная $MSU$-линейная операция в комплексных кобордизмах представляется в виде ряда от операций $∂_i$, переводящей класс бордизма стабильно комплексного многообразия $[M]$ в класс его подмногообразия, двойственного к $i$-кратной прямой сумме детерминанта касательного расслоения $det(TM)$. Отсюда следует, что произвольное $MSU$-билинейное умножение на $W^*$ имеет вид $ab + (2V + w) ∂a ∂b$, где $V$ - некоторый конкретный класс комплексных бордизмов, а $w$ - произвольный параметр из 4-ых групп коэффициентов $W$, причём из проекторов индуцируются лишь те умножения, для которых w делится на 2. Для произвольного $MSU$-билинейного умножения вычисляется соответствующее кольцо коэффициентов и доказывается, что после обращения 2 или простых чисел Ферма это кольцо порождается коэффициентами формальной группы для некоторой комплексной ориентации теории $W$. Также доказывается точность по Ландвеберу соответствующих формальных групп.
Русский
English