В докладе будут изложены результаты, полученные в совместной работе с Р. Григорчуком и В. Каймановичем. Мы изучаем действие подгруппы H свободной группы F на границе Пуассона группы F, определенной простым случайным блужданием на F. Методы из комбинаторной теории групп используются для идентификации консервативной и диссипативной части действия. Даются достаточные и необходимые условия консервативности действия в терминах геометрии фактор-пространства F/H. Обсуждается связь эргодических свойств действия со свойствами случайных блужданий на фактор-пространстве.
Классификация функций одной переменной получена 50 лет назад Рохлиным. Случай многих переменных представляет существенные трудности. Речь пойдет о следующем новом результате: полный метрический инвариант функций двух переменных есть случайная матрица с распределением, инвариантным относительно подстановок строк и столбцов. Тема имеет много связей и ставит много новых задач. Доклад не требует предварительных знаний.
В докладе будет приведено описание всех нильмногообразий нильпотентных групп второй ступени, на которых существуют У-диффеоморфизмы.
Рассматриваются алгоритмы некоммутативной компьютерной алгебры и их применение к решению следующих вычислительных задач математики и математической физики:
1. Вычисление конечно представленных алгебр и супералгебр Ли.
2. Вычисление когомологий (супер)алгебр Ли.
3. Вычисление асимптотических спектральных инвариантов для эллиптических дифференциальных операторов (коэффициентов разложения ядра оператора теплопроводности) на искривлённых многообразиях с кручением и калибровочными полями.
В докладе рассказывается о новых результатах в теории представлений некоммутативных квантовых групп и связанных с ними задачах анализа.
Пусть $\beta\in(1,2)$ --- параметр. Рассмотрим множество $A_\beta$ всех вещественных чисел $x$, имеющих однозначное представление в виде $x=\sum_1^\infty e_n\beta^{-n}$, где коэффициенты $e_n\in\{0,1\}$. Как хорошо известно, это множество имеет меру нуль; в докладе будет показано,
что xаусдорфова размерность $\A_\beta$ положительна тогда и только тогда, когда $\beta>\beta_c$, где $\beta_c=1.78723\dots$ --- (трансцендентная) константа Коморника-Корети.Будут приведены два способа доказательства этого факта (на самом деле, гораздо более точного утверждения) --- арифметическое (элементарное) и динамическое, основанное на технике ренормализации. При этом в качестве отображения, с которым мы будем работать, выступает некоторое ``отображение с дырой", являющееся обратным к ``полиморфизму Бернулли", параметризованному числом $\beta$.
Вторая часть доклада будет посвящена исследованию свойств преобразования канторовского множества $A_\beta$, получающегося путем выбрасывания всех прообразов ``дыры". Это
отображение по виду напоминает знаменитый $\beta$-сдвиг, но на самом деле совершенно другое. Мы называем его ``симметричным $\beta$-сдвигом", имея в виду, что нули и единицы теперь равноправны. Будет показано, что это семейство удивительным образом напоминает некоторые семейства одномерных отображеий (полнота, монотонность, очень наглядная теорема Шарковского, аналог теоремы Фейгенбаума, и т.п.).В заключение (если останется время) будет рассказано о прикладных задачах, мотивировавших это направление. А именно, о связи сверток Бернулли с задачей о моделировании бинарных цифровых каналов с шумом и однозначном декодировании сигналов.
Доклад основан на совместных работах с Paul Glendinning и Dave Broomhead (UMIST, Manchester).
Краткий обзор теории классифицирующих пространств, построение точной модели BPL и отображения Гаусса для комбинаторных многообразий.
Доклад посвящен нижней оценке на число независимых инвариантов узлов конечного типа, полученной в работе С.Дужина и С.Чмутова 1996 года и улучшенной О.Дасбахом в 1997 году. Наилучшая известная оценка составляет exp(C \sqrt(n)) для любой константы C< pi * \sqrt(2/3). Доказательства состоят в явном построении явного семейства независимых элементов в пространстве одно-трех-валентных графов, различаемых специальным образом построенным линейным отображением в пространство многочленов многих переменных. Ссылки: S.V.Chmutov, S.V.Duzhin. A lower bound for the number of Vassiliev knot invariants. "Topology and its Applications" 92 (1999) 201-223. O.Dasbach. On the Combinatorial Structure of Primitive Vassiliev Invariants III - A Lower Bound, Communications in Contemporary Mathematics, Vol. 2, No. 4, 2000, pp. 579-590.
В докладе будут рассматриваться симметричные случайные блуждания по конечно порожденным группам. Будут приведены примеры асимптотик сноса и энтропии, а также неравенства, связывающии эти функции со словарной функцией роста группы. Будут рассмотрены новые примеры нулевой и положительной энтропии.