Конструкция фон Неймана построения факторов по динамической системе как скрещенных произведений хорошо известна. Более современное ее изложение использует теорию группоидов. Но в этих случаях так называемая константа связи (coupling constant) всегда равна единице.
Недавно Л.Д.Фаддеев обратил мое внимание на простой пример, возникший в квантовой теории поля ("quantum double"), где фактор типа II_1 выглядит необычно.
Построена общая схема конструкции факторов по паре динамических систем, как обобщающая конструкцию фон Неймана, так и охватывающая этот и многие другие примеры.
Никаких предварительных знаний не требуется.
В докладе будут рассмотрены точечные множества в многомерном единичном кубе, допускающие структуру конечной абелевой группы относительно p-адической операции. Такие множества можно рассматривать как подгруппы во вполне несвязных группах канторовского типа. На основе методов гармонического анализа на таких топологических группах будет показано, как явно построить наиболее равномерно распределенные точечные множества.
Подробное изложение этих результатов дано в работе
M.M.Skriganov, "Harmonic Analysis on Totally Disconnected Groups and Irregularities of Point Distributions", Preprint POMI 15/2002
(работа имеется на web-странице ПОМИ).
Базисы Гребнера, введенные Бухбергером, дают каноническое представление для идеалов в кольце многочленов. Каждый такой базис определяется идеалом и некоторым допустимым полным упорядочением на мономах. При этом во многих задачах не имеет большого зачения используемое мономиальное упорядочение. В докладе будет описана конструкция универсального базиса, которая использует только естественный частичный порядок, определяемый делением мономов. Будет также описана топология на множестве всех допустимых мономиальных порядков, которое оказывается эквивалентным канторову множеству.
Среди многих алгебраических и комбинаторных задач, сводящихся к изучению диаграмм Юнга, наименее изучены задачи о статистике жордановых форм матриц высокого порядка. А.Бородин (Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы-2, 1997) решил ее для случая нильпотентных матриц над конечным полем. В докладе будет изложено его решение с комментариями, кроме того будут сформулированы близкие нерешенные вопросы.
Будет кратко рассказано о недавних приложениях теорем универсальности:
1. В работах по хирургии алгебраического Грассманиана (L. Lafforgue).
2. В работах по гипотезе Концевича о сложности вычисления феймановских амплитуд (Р. Bronsnan).
3. В работах по проблеме отыскания локальных формул для характеристических классов многообразий.
В докладе будет рассказано об обобщении примеров Болсинова и Тайманова интегрируемых римановых метрик с хаотическим поведением на неголономную ситуацию. Мы обсудим свойства топологической энтропии в некомпактном случае и интегрируемость метрик Карно-Каратеодори. Полученные метрики являются первыми примерами неголономных систем, которые гладко интегрируемы, но не интегрируемы с аналитическими полиномиальными по импульсам интегралами.
Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона с вероятностью единица.
Доклад представляет собой реферат серии статей А.Окунькова, в которых техника т.н. "бесконечного клин-представления" применяется к задачам о случайных разбиениях, трехмерных диаграммах Юнга и др.
Пусть Г - множество всех пар (G, X), где G - конечно порожденная группа, X - конечное порождающее подмножество в G. Под групповым свойством будем понимать произвольное отображение P : Г->[0,+\infty); при этом мы говорим, что пара (G,X)\in Г обладает свойством P, если P(G,X)>0. Таким образом, P(G,X) показывает, в какой мере пара (G,X) обладает P.Основными примерами являются:
а) свойство (Т) Каждана (в качестве P(G,X) берется константа Каждана группы G относительно множества X);
б) свойство экспоненциальности роста (в качестве P(G,X) берется логарифм скорости экспоненциального роста группы G относительно X);
в) свойство неаменабельности (различные определения "меры неаменабельности" будут приведены в докладе).
Определение 1. Конечно порожденная группа G равномерно обладает свойством P, если существует такое \epsilon>0, что для всякого конечного порождающего множества X группы G выполняется неравенство P(G,X)>\epsilon; если же P(G,X)>0 для любого конечного порождающего множества X, и существует последовательность конечных порождающих множеств X_k, k=1,2,..., в G таких, что P(G,X_k)->0 при k->\infty, то говорят, что G обладает свойством P неравномерно.
Вопросы о существовании конечно порожденных групп, неравномерно обладающих теми или иными свойствами, ставились в разное время Громовым (для свойства экспоненциальности роста), Любоцким (для свойства (Т)), Шаломом (для свойства неаменабельности) в связи с различными геометрическими и алгебраическими задачами, такими как нахождение нижней оценки для топологической энтропии геодезических потоков на многообразии и проблема финитной аппроксимируемости гиперболических групп. В докладе будет предложен метод построения таких примеров, основанный на аппроксимации конечно порожденных групп гиперболическими группами относительно топологии локального изоморфизма на Г. Общий подход позволяет ответить на вопросы Любоцкого и Шалома. Также будет затронут вопрос о возможности построения конечно порожденной группы неравномерно экспоненциального роста в рамках предложенной конструкции.