Многомерной цепной дробью по Клейну называется многогранная поверхность, являющаяся границей выпуклой оболочки целых точек внутри некоторого специального конуса в пространстве. Это понятие (введенное в 1895 г. Ф.Клейном) является геометрическим обобщением обыкновенной цепной дроби.
Основная цель доклада: во-первых, сформулировать новую теорему о целочисленно-линейной классификации компактных двумерных граней таких многогранных поверхностей, расположенных от начала координат на целочисленном расстоянии, большем единицы; во-вторых, представить ряд нерешённых задач геометрии решёток, естественно здесь возникающих (задачи Арнольда, Концевича, докладчика).
В завершение доклада мы расскажем о применении теоремы для построения многомерных цепных дробей по Клейну, а также приведём некоторые примеры таких цепных дробей.
В докладе будет рассказано о некотором семействе марковских процессов с непрерывным временем на графе Юнга. Стационарными распределениями для этих процессов являются пуассонизированные меры Планшереля или смешанные z-меры. Основной результат состоит в явном вычислении динамических корреляционных функций и их скейлинговых пределов. Ответы имеют детерминантный вид и при сужении на конечное число моментов времени задают детерминантные точечные процессы.
Плоские разбиения (трехмерные диаграммы Юнга) естественно возникают во многих задачах неравновесной статистической физики. Будет показано, что модель бозонного типа, допускающая точное решение, связана с проблемой перечисления плоских разбиений. Корреляционные функции данной модели представляют собой производящие функционалы трехмерных диаграмм Юнга с фиксированными высотами некоторых столбцов. Корреляционные функции представлены в виде определителей.
Ирвинг Сигал (США, 1918-1998) - один из крупнейших математиков XX века. Его хронометрия основана на конформной группе G. G глобально действует на U(2), которая в данном случае выступает компактификацией мира Минковского. Стационарная подгруппа изоморфна группе Пуанкаре. Чтобы восстановить причинность, вводится универсальная накрывающая D группы U(2). D рассматривается как мир, в котором моделируются (свободные) ЭЧ и как базовая космологическая модель. Радиус R сферического 3-пространства является конформным инвариантом и интерпретируется как третья фундаментальная постоянная. Частицы ассоциируются с G-представлениями (положительно-энергетическими) в расслоениях (соответствующих данному спину) над D и с соответствующими волновыми уравнениями. Эти уравнения выводятся, а не постулируются. Благодаря им отыскиваются подпространства с соответствующей физической интерпретацией. Чисто математически, получаются ровно три фундаментальных взаимодействия между фермионным и бозонным кланами (это НЕ ТРИ ИЗВЕСТНЫЕ взаимодействия; эти последние восстанавливаются в РЕЛЯТИВИСТСКОМ ПРЕДЕЛЕ, который состоит в устремлении R к бесконечности).
В течение 1970-1998 гг. лишь одна группа Сигала опубликовала более 120 работ (многие из них опубликованы в ведущих математических, физических и астрономических журналах).
В докладе делается обзор биективных методов в теории разбиений и вводится новый класс геометрических биекций. Затем обсуждаются приложения к изучению асимптотической формы случайных разбиений из разных классов.
Квазиподобие двух операторов A и B в гильбертовом пространстве означает равенство SA=BS или AR=BR, где S,R - операторы с неограниченными, вообще говоря, обратными (из-за чего это не обычное подобие). Это отношение много изучалось в теории несамосопряженных операторов, теории рассеяния и др.
Может ли унитарный оператор UT, отвечающий сохраняющему меру преобразованию T, быть квазиподобен необратимому марковскому оператору VП, отвечающему полиморфизму (т.е. многозначному отображению, сохраняющему меру) П? В околофизической литературе (Пригожин, Мисра, Густафсон) этот вопрос связывают с проблемой необратимости и пр.
Ответ: это возможно тогда и только тогда, когда T - колмогоровский автоморфизм, а П - его случайное возмущение вдоль "сжимающегося слоя".
Фактически будет дано новое, эквивалентное классическому определение колмогоровского автоморфизма и рассказано о необычных марковских процессах, отвечающих его возмущениям. Предшествующие работы на эту тему принадлежат М.Розенблатту, К.Густафсону, А.Вершику и др. Будет также сделана попытка рассмотреть задачу в терминах нелинейной теории рассеяния.
В докладе будут изложены все сведения, необходимые для его понимания.
Найдены следующие два удивительных свойства универсального метрического пространства Урысона:
1) Существует минимальная (в смысле топологической динамики) изометрия этого пространства. До сих пор такие изометрии были известны только как сдвиги на компактных абелевых группах.
2) В этом пространстве существуют анархические последовательности, которые топологически равномерно распределены, но не определяют никакой вероятностной меры на пространстве. До сих пор такой эффект был известен только для дискретных пространств.
В докладе будет описано восходящее к Мамфорду клеточное разбиение пространств модулей алгебраических кривых (римановых поверхностей) с отмеченными точками. Клетками этого разбиения служат пространства метризованных ленточных графов, а изоморфизм с пространством модулей кривых осуществляется с помощью дифференциалов Штребеля.
Двойственное пространство конечномерной алгебры Ли снабжено естественной пуассоновой структурой, которая индуцируется скобкой Ли. Эта пуассонова структура инвариантна относительно коприсоединенного представления соответствующей группы Ли и ограничивается на произвольную орбиту. Соответствующее ограничение называется скобкой Кириллова-Костанта-Сурьо (ККС). Задача эквивариантного деформационного квантования скобки ККС является одной из классических задач математической физики. Принципиально она была решена для полупростых орбит редуктивных алгебр Ли в работе Донина, Гуревича и Шнайдера 1996 г. (Орбита называется полупростой, если проходит через регулярный элемент при отождествлении коприсоединенного и присоединенного представления редуктивной алгебры Ли). Однако упомянутое решение является неявным, т.к. дает ответ в виде фактор-алгебры универсальной обертывающей алгебры по некоторому идеалу. Таким образом, задача квантования полупростых орбит редуктивных алгебр Ли сводится к описанию соответствующих идеалов. Эти идеалы являются в точности аннуляторами обобщенных модулей Верма (индуцированных с одномерных представлений параболических подалгебр). Их описание в случае gl(n) дается в работах Донина-Мудрова 2002 г., что решает задачу явного квантования скобки ККС на полупростых орбитах коприсоединенного представления GL(n). Связь с модулями Верма позволяет перечислить все конечномерные представления построенных квантовых орбит. Следует заметить, что реализация квантования в виде фактор-алгебры универсальной обертывающей алгебры не является локальной. Другими словами, это есть квантование глобальных полиномиальных функций на орбите, и оно не продолжается непосредственно на более общие функции. Локальность этого квантования доказана с помощью общего метода построения *-произведения на G-пространствах, развитого в работе Донина-Мудрова 2003 г. в рамках теории динамического уравнения Янга-Бакстера над общей базой.