Рассматривается точно решаемая четырехвершинная модель статистической физики на квадратной решетке. Показано, что статистическая сумма модели на решетке с фиксированными граничными условиями является производящей функцией Мак-Магона числа плоских разбиений в ящике. В случае периодических граничных условий статистическая сумма модели связана с числом допустимых укладок ромбов на торе.
Веер Гребнера - это разбиение пространства, параметризующего линейные упорядочения множества мономов от n переменных, на конечное число многогранных конусов. Такой веер строится по полиномиальному идеалу, а конуса соответсвуют его всевозможным различным базисам Гребнера. В докладе будет рассказано о связях этой и других комбинаторных конструкций, связанных с универсальным базисом Гребнера, с многомерными диаграммами Юнга.
Будет изложена серия результатов о классификации измеримых функций нескольких переменных и, в частности, теорема о компактности группы симметрий измеримых функций
По аналогии с циклотомическими схемами над конечными полями, введёнными Ф.Дельсартом, мы вводим соответствующие схемы для почти полей. Основные результаты состоят в описании групп автоморфизмов этих схем и характеризации на основе этого классических циклотомических схем.
В рамках теории гиперболических многогранников естественным образом получаются уточнения следующей теоремы единственности А.Д.Александрова:
Теорема. Пусть $K,M \in R^3$ - выпуклые трехмерные многогранники. Предположим, что для каждой пары параллельных граней $K^\xi, M^\xi$, таких, что $dim K^\xi =2$ или $dim M^\xi =2$, не существует параллельного переноса, помещающего одну из граней строго внутрь другой.
Тогда $K$ и $M$ равны с точностью до параллельного переноса.
Пример. Уточнение "сверху".
Мы построим различные трехмерные многогранники $K,M \in R^3$, такие, что для каждой пары параллельных граней $K^\xi, M^\xi$, удовлетворяющих условию $dim K^\xi =2$ или $dim M^\xi =2$, существует не более одного параллельного переноса, помещающего одну из граней строго внутрь другой.Построение этого примера связано с регулярно триангулируемыми веерами гиперболических многогранников.
Мы покажем, что подобно натягиванию выпуклой оболочки на множество точек можно натягивать седловые оболочки на специальные зацепления на трехмерной сфере.
Теорема. Уточнение "снизу".
Пусть $K,M \in R^3$ - выпуклые трехмерные многогранники. Предположим, что для каждой пары параллельных граней $K^\xi, M^\xi$, таких, что $dim K^\xi =2$ или $dim M^\xi =2$, справедливы два утверждения:(1) Cуществует не более одного параллельного переноса, помещающего грань $K^\xi$строго внутрь $ M^\xi$.
(2) Не существует параллельного переноса, помещающего грань $M^\xi$ строго внутрь $ K^\xi$.
Тогда $K$ и $M$ равны с точностью до параллельного переноса.
Напомним, откуда взялись гиперболические многогранники. В 1939 году А.Д.Александров выдвинул (и доказал для аналитических тел) следующую гипотезу:
Пусть $K \subset R^3$ - гладкое тело. Если существует такая константа $C$, что в каждой точке $ \partial K$ выполнено неравенство $R_1 \leq C \leq R_2$$ то тело $K$ - шар. ($R_1$ и $R_2$ - главные кривизны $\partial K$).
Вопреки ожиданиям многих, гипотеза оказалась неверна. Первый контрпример был построен Yves Martinez-Maure в 2001 г. Позже оказалось, что существует много принципиально разных контрпримеров к гипотезе. Их построение опирается на теорию гиперболических виртуальных многогранников, разработанную докладчиком.
В докладе будет рассказано о границах Фюрстенберга, о связанных с ними различных видах проксимальности, определяемых для действия группы в метрическом пространстве, и о том, почему разные виды проксимальности оказываются эквивалентными, если пространство действия -- окружность.
Пусть $\gamma$ --- ограниченная строго выпуклая кривая на плоскости. Каково максимально возможное количество $k(N,\gamma)$ целых точек, лежащих на кривой $N\gamma$ при больших $N$? Первый фундаментальный результат в этом направлении --- оценка $k(N,\gamma)\le c(\gamma)N^{2/3}$ --- был получен Ярником в 1926 г. Константа $c(\gamma)$ зависит от различных характеристик кривой $\gamma$. Если фиксировать длину $l(\gamma)$, то $c=c_0l^{2/3}$, точная константа $c_0$ также вычислена Ярником. Получены различные результаты в терминах гладкости и кривизны (например, если дополнительно требовать $\gamma\in C^d$, то $k(N,\gamma)\le cN^{1/2+\varepsilon_d},\, \lim\limits_{d\rightarrow \infty} \varepsilon_d=0$ (Бомбьери-Пила)). Мы доказываем, что $k(N,\gamma)=o(N^{2/3})$.