В работе А.Вершика, докладчика и Р.Бикбова было определено понятие крыши элемента локально свободной группы. Будет рассказано решение задачи об асимптотической статистике крыши относительно n-кратных сверток меры.
Модель представлений группы -- это прямая сумма без кратностей всех неприводимых представлений этой группы. Для некоторых групп модель представлений можно построить явно, не используя описание каждого неприводимого представления.
Данный доклад -- продожение доклада о модели представлений группы S_n. В нём будут рассмотрены модель конечномерных представлений группы GL(n,K), где K -- поле характеристики 0, и модель представлений группы GL(n,q)=GL(n,F_q). Эти модели, наряду с моделью представлений группы S_n, были построены в статьях А.Клячко 1978 и 1983 годов. Цель данного обзора -- возможное продолжение и развитие указанной тематики.
Мы покажем, что следующие две (совсем непохожие!) задачи, за каждой из которых лежит разветвленная и содержательная теория, имеют общую комбинаторную природу.
1. Задача о плотницкой линейке.
Можно ли в плоскости стола распрямить плотницкую линейку (= замкнутую ломаную), избежав при этом самопересечений?2. Задача А.Д.Александрова.
Пусть гладкое трехмерное тело К таково, что некоторая константа С разделяет (нестрого) главные радиусы кривизны в каждой точке поверхности К. Верно ли, что К -- шар радиуса С?Доклад базируется на работах R.Connelly, Y.Martinez-Maure, D.Orden, G.Rota, B.Servatius, H.Servatius, I.Streinu, W.Whiteley, докладчика и других.
Подробности см. http://www.arxiv.org/abs/math.MG/0607171.
В докладе будет рассматриваться параболическое ограничение представлений группы GL(n,q) на группу GL(n-1,q). Это ограничение в определенном смысле обобщает тривиальное ограничение представлений в цепочке симметрических групп. Легко доказать, что эта цепочка имеет простое ветвление представлений; этот факт лежит в основе индуктивного построения теории представлений групп S_n.
Цепочка групп GL(n,q) при параболическом ограничении представлений также имеет простое ветвление, но, кажется, это не совсем банальный факт. По-видимому, все известные доказательства этого утверждения так или иначе используют нетривиальные факты из классической теории представлений групп GL(n,q), поэтому пока что индуктивный подход к представлениям этих групп нельзя развивать независимо.
Используя несложные комбинаторные рассуждения, можно элементарно доказать простоту ветвления основной серии представлений групп GL(n,q) при параболическом ограничении. Эскиз этого доказательства будет рассказан в докладе. Кроме того, хотелось бы изложить некоторые классические факты теории представлений групп GL(n,q) и показать их связь с параболическим ограничением представлений.
Рассматриваются различные типы бесконечномерных групп Ли, служащих конфигурационными пространствами для указанных ниже уравнений математической физики:
- группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактных ориентированных римановых многообразий;
- обобщенные группы токов.
Бесконечномерные группы Ли снабжаются право- (или лево-) инвариантными римановыми метриками, имеющими физический смысл. Вводятся геометрические инварианты групп диффеоморфизмов, связанные с анализом устойчивости стационарных решений уравнений математической физики и позволяющие численно оценивать турбулентные эффекты.
Группы токов использовались в задаче исследования нелинейной динамики намагниченности ферромагнетиков, описываемой уравнением Ландау-Лифшица в неинтегрируемом случае (на римановых многообразиях размерности 3 и выше), однако для физических приложений требуется обобщение этого понятия.
Будет изложена конструкция, позволяющая провести групповой анализ динамики вязкой несжимаемой жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса. Получен класс решений уравнений Эйлера и Навье-Стокса типа "бегущей волны" (для многомерной гидродинамики), продолжаемых во времени на бесконечность. Для определенного семейства решений уравнений Эйлера на трехмерном многообразии S(S^2), являющемся сферическим расслоением над двумерной сферой, строится их погружение в группу Бонди-Метнера-Закса, служащую конфигурационным пространством в задачах квантовой космологии.
Мы рассматриваем одно семейство моделей построения структур разбиений в смысле Кингмана. Эти модели являются обобщением классической конструкции канторовского множества. Некоторые частные случаи включаются также в двупараметрическое семейство структур разбиений Ювенса-Питмана. Оказывается, что для рассматриваемых моделей характерен степенной рост числа блоков.
Пусть V -- конечномерное вещественное или комплексное аффинное пространство. Снабдим его метрикой, определенной евклидовым (в вещественном случае) или эрмитовым (в комплексном случае) скалярным произведением в пространстве переносов. Отражением называется изометрия пространства V, порядок которой конечен, а множество неподвижных точек является (аффинной) гиперплоскостью. В случае вещественного пространства V порядок отражения автоматически равен 2, а в случае комплексного может быть любым целым числом большим 1. Рассмотрим теперь семейство (не обязательно конечное) отражений пространства V. Когда группа, порожденная им, дискретна? Как классифицировать все такие дискретные группы? В вещественном случае ответ был получен в классических работах Э.Картана и Кокстера. В докладе будет рассказано, каков ответ в комплексном случае.
Вычисление следов на алгебрах Брауэра и на алгебрах разбиений сводится к анализу случайных блужданий на графе Юнга. При этом используется операция на градуированных графах, называемая паскализацией (в случае одномерной полурешетки она дает половину графа Паскаля).
В докладе рассказывается об одном интересном обобщении уравнения Янга-Бакстера, играющего центральную роль в методе обратной задачи рассеяния, -- так называемом динамическом уравнении Янга-Бакстера (дуЯБ).
В качестве мотивировки рассматривается задача эквивариантного квантования алгебры функций на однородном пространстве G/H, где G -- гладкая группа, а H -- ее замкнутая подгруппа. Эквивариантность понимается в следующем смысле. Считается, что G снабжена структурой группы Пуассона (возможно, тривиальной), и тогда существует деформация (квантовая группа) универсальной обертывающей U_h(g) алгебры Ли g=Lie(G). Квантование G/H есть ассоциативная деформация алгебры функций, снабженная действием U_h(g). В частном случае тривиальной квантовой группы U_h(g)~ U(g) мы имеем классическую задачу квантования G-инвариантной пуассоновой структуры на G/H.
Оказывается, что решение описанной выше задачи приводит к дуЯБ. В простейшем варианте это уравнение появилось в работах Л.Д.Фаддеева, А.Алексеева, L.Feher в начале 90-х и затем интенсивно изучалось в работах П.Этингофа, А.Варченко и др. Связь дуЯБ с деформационным квантованием была осознана в работах И.Донина и А.Мудрова в 2003 г. В различных аспектах она была независимо открыта А.Алексеевым, А.Ляховской, А.Столиным, В.Тарасовым et al, чьи работы появились в 2003 практически одновременно.
Упомянутая выше связь с деформационным квантованием привела к существенному обобщению самого дуЯБ на случай произвольных алгебр Хопфа (и далее). Оказывается, что дуЯБ получает естественную интерпретацию с помощью моноидальных категорий специального вида -- точно так же, как и обычное уравнение Янга-Бакстера связано с категориями модулей над алгебрами Хопфа. Напомню, что в моноидальной категории определена операция тензорного произведения, удовлетворяющая естественным аксиомам ассоциативности и т.д. "Динамические категории" связаны не с алгебрами Хопфа или квановыми группами, а с более общими объектами -- квантовыми группоидами. Здесь роль поля скаляров или "базы" играет алгебра довольно общего вида, вообще говоря некоммутативная. В простейшей коммутативной версии точки спектра этой алгебры имели физическую интерпретацию динамических параметров. В общей ситуации "динамический" параметр пробегает "некоммутативное квантовое" пространство. Оказывается, что теория с общей базой может быть продвинута достаточно далеко. Практически все, что имеет место для квантовых групп, допускает "динамизацию". В частности, решения самого дуЯБ определяют специальные "нелокальные" представления группы кос Артина. Следует также отметить, что дуЯБ над общей базой интересно не только с математической точки зрения. Имеются его приложения к конформной теории поля.
Давно известно любопытное совпадение поведения эргодических средних и (обращенных) мартингалов. Было предложено по меньшей мере пять различных подходов к построению унифицирующей теории: М.Джерисоном (1955), Ж.-К.Рота (1961), А. и К.Ионеску-Тулча (1963), А.М.Вершиком (1960-е) и докладчиком (1998). В докладе предполагается дать сравнительное описание всех этих подходов с подробным анализом пятого подхода, во всех деталях ранее нигде не излагавшегося. Кроме того, будет рассказано о новом, шестом по общему счету подходе, получающемся переходом от суммирования по Абелю к суммированию по Чезаро (с отходом от использования операторов Рейнольдса) во втором подходе - дающим естественную модификацию унифицирующего стохастического процесса пятого подхода.
Будет рассказано о замечательном универсальном метрическом пространстве Урысона и о том, как его получить с помощью инвариантной метрики на группе целых чисел, и о связях с теорией банаховых пространств.
Конструкция подстановочных модулей Шпехта плохо излагается в литературе, за редким исключением. Между тем, из всех известных до последнего времени глобальных реализаций представлений симметрических групп эта - наиболее явная. Оказалось, что использование грассмановых переменных позволяет описать модули Шпехта еще более наглядно. Это позволяет дать и более четкий (чем был известен до сих пор докладчику) ответ на хорошо известный вопрос о подстановочной классификации симметрий тензоров, конечных или нет; при этом, как обычно, ответ в бесконечном случае проще, чем в конечном.