В докладе будет описано градуированное кольцо простых многогранников (существенно отличающееся от уже ставшей классической градуированной алгебры многогранников П.МакМаллена). В кольце действует оператор дифференцирования, превращающий классические f-, h- и g- векторы многогранников в решения некоторых дифференциальных уравнений. Как следствия, получаются несколько фактов вокруг g-теоремы, например, теорема о нижней границе для g- вектора.
Мы докажем гипотезу Б.Цирельсона о том, что скейлинговый предел двумерной критической перколяции является "черным шумом". Это первый пример черного шума на плоскости.
Этот результат доказан в совместной работе с Одедом Шраммом (1961-2008).
В начале доклада будет рассказано о новом подходе к построению скейлингого предела перколяций на плоскости (случайный набор пересекающихся прямоугольников). Мы показываем, что многие модели перколяций обладают плотностью и, следовательно, скейлинговыми пределами, а в критической точке перколяции на треугольной решетке предел единствен.
Во второй части мы доказываем, что если в скейлинговом пределе область рассечена гладкой кривой, то конфигурацию в ней можно восстановить по конфигурациям, возникающим в двух половинках (т.е. кривая не содержит никакой информации). Это означает, что, ограничивая конфигурацию на решетку в малой окрестности кривой и рассматривая ее малое возмущение вне кривой, мы сильно не изменим свойства протекания.
В качестве введения А.М.Вершик расскажет о понятии метрических факторизаций и о белом и черном шуме.
В докладе будет рассказано о развитой автором градуированной теории n-гомоморфизмов Фробениуса в связи с ее двуми основными топологическими приложениями. Неградуированная теория n-гомоморфизмов Фробениуса была в построена в работах В.М.Бухштабера и Э.Риса начиная с 1996 года.
Первое приложение касается теории разветвленных накрытий по Дольду-Смиту, которая тесно связана с действиями конечных групп на топологических пространствах. Для всякого n-листного разветвленного накрытия f:X -->Y по Дольду-Смиту существует классический трансфер \tau(f):H^*(X;Q)-->H^*(Y;Q), \tau(f):H^*(X;Z_p)-->H^*(Y;Z_p), p>n, который в свете новой теории является не просто линейным отображением, а n-гомоморфизмом специального вида. Это знание позволяет сказать много нового о мультипликативной структуре кольца H^*(Y), зная кольцо H^*(X). В частности, получаются нижние оценки на рациональную (и mod p, p>n) когомологическую длину l(Y) через l(X) и n.
Второе приложение развитой теории связано с понятием n-значной топологической группы, введенным В.М.Бухштабером в 1990 г. В 1996 году В.М.Бухштабером и Э.Рисом было предложено понятие n-алгебы Хопфа для четноградуированной коммутативной алгебры. В.М.Бухштабером и Э.Рисом была доказана теорема о существовании структуры n-алгебры Хопфа в четных когомологиях H^2*(X;Q) для любой n-значной топологической группы X. Автор вводит понятие n-алгебры Хопфа для общего случая градуированной коммутативной алгебры и доказывает, что H^*(X;Q) наделяется структурой n-алгебры Хопфа для любой n-значной топологической группы X. Это позволяет получать результаты о несуществовании структуры n-значного умножения для новых серий многообразий, n=2,3.
Построение марковского разбиения для гиперболического автоморфизма A тора T^2 обычно производится в два этапа. Сначала строится (простейшее) предмарковское разбиение {R_1,R_2} --- разбиение тора на два параллелограмма со сторонами, параллельными собственным направлениям матрицы A, и с некоторыми условиями на границу. На втором этапе берутся замыкания связных компонент множеств вида int(R_i)\cap A(int(R_j)), которые образуют разбиение, задающее марковское кодирование.
В докладе речь пойдёт о структуре множества простейших предмарковских разбиений. На этом множестве действует группа Z степеней автоморфизма, и естественно считать разбиения из одной её орбиты эквивалентными. Оказывается, что структура множества классов эквивалентности связана с разложением в цепную дробь углов наклона собственных направлений матрицы A.
Второй результат, о котором пойдёт речь --- конечность множества классов эквивалентности предмарковских разбиений, имеющих ограниченную сложность, для псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности. Под ограниченной сложностью здесь понимается ограниченность числа параллелограммов разбиения и выполнение для всех разбиений семейства условий
A[Ds\cup A(Ds)\cup ... A^K(Ds)]\subset Ds\cup A(Ds)\cup ... A^K(Ds),
A^{-1}[Du\cup A(Du)\cup ... A^K(Du)]\subset Du\cup A(Du)\cup ... A^K (Du)с некоторым фиксированным K. (Ds и Du --- объединение сторон параллелограммов разбиения, параллельных устойчивому и неустойчивому направлениям для A.)
В 1985 году Вершик и Керов предположили, что нормализованная размерность неприводимых представлений симметрической группы сходится по мере Планшереля к константе, названной авторами энтропией. Доклад будет посвящен доказательству гипотезы Вершика и Керова, основанному на подходе Бородина, Окунькова и Ольшанского.
В теории динамических систем принято, как правило, рассматривать свободные действия групп. Но давно замечено, что в теории представлений иногда полезны и несвободные действия (Вершик--Керов,╛1982), однако общей теории таких действий до сих пор не существовало. Экстремально противоположными свободным действиям являются действия, названные абсолютно несвободными. Эти действия изоморфны присоединенным действиям группы на решетке ее подгрупп. Они порождают непосредственно фактор-представления типа II_1. Открывается возможность описания всех таких представлений и их характеров через посредство описания всех инвариантных мер на решетке подгрупп. Это можно сделать для бесконечной симметрической группы, что дает еще одно доказательство теоремы Тома. Кроме того возникает серия новых задач о действиях групп.
Доклад по работе Кристиана Штайндера (Вена).
Пусть $\alpha$ --- элемент тора $T=(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d$, который нам удобно будет рассматривать как $T=[0,1)^d$. Выберем в $T$ некоторое множество $E$ и определим последовательность Хартмана $\{a_k\}$ нулей и единиц формулой $a_k=\chi_{E}(k\alpha)$. Оказывается, что subword complexity этой последовательности (асимптотика количества разных подслов данной длины) в случае, когда $E=P$ --- выпуклый многогранник, выражается через объем projection body $\Pi P$ многогранника $P$ (то есть тела, опорная функция которого в направлении $u\in \mathbb{S}^{d-1}$ равна проекции многогранника $P$ на гиперплоскость, перпендикулярную $u$).
Subword complexity посчитаны и для невыпуклых многогранников, у которых, тем самым, можно определить объем projection body. Мне кажется, что это неплохой повод определить собственно projection body в невыпуклом случае.
Пусть A -- произвольное подмножество двумерной решетки {1,2,\dots, N}^2. Мы доказываем, что если мощность множества A не меньше, чем N^2 / (\log \log N)^с, где с - некоторая абсолютная константа, то A содержит тройку { (x,y), (x+d,y), (x,y+d) }, d>0. Полученное утверждение дает положительный ответ на один вопрос Т.Гауэрса о двумерном обощении теоремы Рота-Семереди. С точки зрения эргодической теории теорема выше является количественным результатом о возвращении почти всех точек произвольной динамической системы под действием двух коммутирующих операторов. В докладе мы расскажем о связи подобных комбинаторных вопросов с теорией динамических систем, а также изложим схему нашего доказательства.
Изучается структура $C^1$-внутренности множеств векторных полей, обладающих различными видами свойства отслеживания. Известно, что подобная $C^1$-внутренность в случае дискретных динамических систем, порожденных диффеоморфизмами, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.
Основное отличие данной задачи для векторных полей от аналогичной задачи для дискретных динамических систем состоит в репараметризации отслеживающих траекторий. В зависимости от типа репараметризации мы различаем липшицево, ориентированное и орбитальное свойства отслеживания.
Доказано, что $C^1$-внутренность множества векторных полей, обладающих липшицевым свойством отслеживания, совпадает с множеством структурно устойчивых векторных полей. Для случая ориентированного свойства отслеживания вводится понятие систем класса $\textbf{B}$. Мы доказали, что $C^1$-внутренность векторных полей, обладающих ориентированным свойством отслеживания и не являющихся векторными полями класса $\textbf{B}$, состоит лишь из структурно устойчивых векторных полей.
В ходе доклада будет приведен пример векторного поля класса $\textbf{B}$, лежащего в $C^1$-внутренности множества векторных полей, обладающих ориентированым свойством отслеживания.
В докладе будет рассказано про модели случайных трёхмерных диаграмм Юнга, которые стали предметом интенсивного изучения в последние годы. У исследуемых моделей существует множество различных комбинаторных интерпретаций, что приводит к большому разнообразнию методов изучения. Наиболее интересные результаты получаются в пределе, когда размер случайной диаграммы стремится к бесконечности. Будет рассказано о возникающих "предельных формах", а также о локальных флуктуациях вокруг этих предельных форм. В докладе будет дан краткий обзор основных результатов в этой области за последние 10 лет; кроме того, будут приведены и совсем свежие результаты, касающиеся построения марковской динамики на трёхмерных диаграммах Юнга.