Я напомню определение самоподобных групп через их действия на корневых деревьях и приведу некоторые примеры, в частности, бесконечной периодической группы, имеющей промежуточный рост и группы Базилика -- первого примера аменабельной, но не субэкспоненциально-аменабельной группы (последнее свойство означает, что эту группу нельзя получить из групп субэкспоненциального роста с помощью операций расширения, прямого произведения или взятия индуктивного предела).
По любому действию группы автоморфизмов на корневом дереве строится последовательность конечных графов Gn -- графов действия на уровнях дерева, которые являются графами Шрайера по стабилизаторам вершин. Аналогично, по действию группы на границе дерева можно определить семейство орбитальных, бесконечных графов Шрайера {Gx} по стабилизаторам граничных точек. Оно явяется проективным пределом последовательности Gn, а также носителем слабого случайного предела графов Gn. Чем более несвободно действие группы на дереве, тем больше информации о группе несут в себе графы Шрайера.
Для стягивающих действий Некрашевич предложил альтернативный предельный переход в последовательности графов Gn, результатом которого является компакт, называемый предельным пространством группы. Во многих случаях оно оказывается гомеоморфным множествам Жюлиа рациональных функций комплексной переменной. Верно и обратное, итерируя произвольное частичное само-накрытие топологического пространства, Некрашевич определяет его группу итерированных монодромий, действующую автоморфизмами самоподобно на корневом дереве прообразов точки.
Я расскажу о некоторых свойствах слабых случайных пределов графов Шрайера самоподобных групп как мере несвободности действия и об их связи с предельным пространством.
В докладе будет предложено введение в развитую за последние 10 лет теорию самоподобных и ветвящихся групп. Эти бесконечные, конечно порожденные группы задаются действием автоморфизмами на корневом дереве. Ветвящиеся группы характеризуются интересной структурой подгрупп. Самоподобные группы естественным образом связаны с комплексной динамикой. Классы ветвящихся и самоподобных групп не совпадают, хотя имеют большое пересечение, и содержат множество известных теоретико-групповых "исключений из правил" и экзотических примеров: среди них встречаются бесконечные периодические группы, группы промежуточного роста, группы экспоненциального, но не равномерно экспоненциального роста, аменабельные, но не элементарно аменабельные группы. Все необходимые понятия будут введены в докладе.
Самоприсоединения (self-joinings) -- это полиморфизмы, ивариантные относительно тензорных степеней динамических систем. Автоморфизм пространства Лебега, обладающий минимальными самоприсоединениями, как показал Д.Рудольф более 30 лет тому назад, является удобным элеметом при построении так называемых контрпримеров в эргодической теории. Свойства минимальных (простых, квазипростых) самоприсоединений по определению обладают порядком. Удивительный факт был обнаружен Дж. Кингом: обсуждаемые свойства порядка 4 влекут за собой свойства всех порядков. В докладе планируется познакомить слушателей с некоторыми методами теории джойнингов и результатами докладчика, в частности, с обобщениями теоремы Кинга и также ее неулучшаемостью для некоторых некоммутативных групповых действий. По контрасту с этим будет показано, что для R-действий (потоков) свойства порядка 2 влекут за собой остальные. В качестве приложения, в простейшем случае получаем, что перемешивающий поток, коммутирующий только с тривиальными полиморфизмами (выпуклыми комбинациями автоморфизмов из рассматриваемого потока и интеграла), обладает кратным перемешиванием всех порядков.
Применяя комбинаторно-вероятностные рассуждения на основе правила Мурнагана-Накаямы, мы получаем асимптотический результат о значении характеров симметрических групп. Мотивация и основное приложение - описание характеров группы рациональных перекладываний отрезка.
Выводится явная формула для полинома HOMFLY рационального зацепления (в частности, узла) в терминах специальной цепной дроби для рационального числа, определяющего данное зацепление. Доказательство основано на рекурсии по бинарному дереву, которое порождается скейн-соотношением для полинома HOMFLY.
Исследуется ансамбль случайных строгих разбиений (введенный А. Бородиным в 1997г.), связанный с задачей гармонического анализа для проективных представлений бесконечной симметрической группы, а также равновесная марковская динамика (с непрерывным временем) на нём. Показано, что одномерные распределения этого случайного процесса (т.е., меры, введенные Бородиным) имеют детерминантную структуру, а корреляционное ядро может быть выражено через 2F1-гипергеометрические функции. Однако, конечномерные распределения более высокой размерности перестают быть детерминантными. В этом случае корреляционные функции имеют пфаффианный вид. По-видимому, это первый пример процесса с такими свойствами.Доказательства результатов основаны на тесной связи этого ансамбля случайных строгих разбиений с некоторым действием алгебры Ли sl(2,C) в фермионном пространстве Фока (в случае z-мер на графе Юнга эта связь была открыта А. Окуньковым [SL(2) and z-measures] ).
Классическая задача описания симплекса центральных мер на графе Гельфанда-Цетлина эквивалентна описанию конечных факторпредставлений бесконечномерной унитарной группы, описанию неприводимых представлений пары Гельфанда (U(\infty)*(\infty),U(\infty)), а также описанию вполне неотрицательных тёплицевых матриц. Будет рассказано о q-деформации понятия центральности меры и приведено описание симплекса q-центральных мер на графе Гельфанда-Цетлина. Несмотря на то, что q-центральные меры можно определить исходя только из комбинаторных соображений, они оказываются связанными с некоторыми представлениями квантовых групп, а также с классом матриц, обладающих неотрицательными минорами и удовлетворяющих соотношениям, которые являются q-деформацией соотношений тёплицевости.
Для всякого метрического пространства имеются два классических способа изометрично вложить его в нормированное пространство --- вложения Хаусдорфа-Куратовского (каждой точке сопоставляется функция расстояния до нее в пространстве непрерывных функций) и Канторовича-Рубинштейна (транспортная норма). Мы доказываем, что для компактных пространств, содержащих более четырех точек, эти вложения различны. В доказательстве используется комбинаторика многогранников и комбинаторная лемма типа Литтлвуда-Оффорда.
Понятие полиморфизма одного пространства Лебега в другое является обобщением понятия многозначного отображения на случай пространств с мерой. Естественным образом можно определить экстремальные полиморфизмы -- крайние точки выпуклого множества всех сохраняющих меру полиморфизмов, неразложимость же является усилением свойства экстремальности полиморфизма. Будет рассказано о критерии неразложимости полиморфизмов, порождённых действием двух конечных групп, рассмотрены вопросы разложимости полиморфизмов, порождённых действием двух групп порядка два (двух инволюций), а также аппроксимационного разложения полиморфизмов. Изложение будет проиллюстрировано примерами неразложимых и разложимых полиморфизмов.
На примере автоморфизма Морса будет рассказано, что такое локально конечная подстановка, и сформулировано несколько задач.
В докладе пойдет речь о случайных блужданиях на счетных группах, стабильных нормальных формах, границе Пуассона-Фюрстенберга для класса групп, действующих на локально-счетных деревьях, который включает в себя амальгамы, HNN-расширения и т.п.
Three different approaches to 2d Gravity will be discussed.
The first one is the continuous approach, in which the theory is defined through the functional integral over the Riemannian metric with appropriate gauge fixing. The choice of the conformal gauge leads to quantum Liouville theory and for that reason this approach is often called the Liouville Gravity.
The second one is the discrete approach, based on the idea of approximating the fluctuating 2d geometry by an ensemble of planar graphs, so that the continuous theory is recovered in the scaling limit where the planar graphs of very large size dominate. The discrete approach is usually refereed to as the Matrix Models, since technically the ensemble of the graphs is usually generated by the perturbative expansion of the integral over $N\times N$ matrices.
The third approach is 2d topological gravity. Witten built axiomatics of this theory by studying intersection theory on the moduli space of Riemann surfaces.
It will be shown in what sense all these approaches are equivalent.
Перестановочные многочлены являются кандидатами на использование их в качестве функций шифрования в криптографии, т.к. обращение произвольного перестановочного многочлена является вычислительно сложной задачей. Перестановочные двучлены являются одними из простых по форме многочленов, но при этим их свойства плохо изучены. На текущий момент не существует критерия, который позволял бы строить случайные перестановочные двучлены, нет достаточно больших серий таких двучленов, а также отсутствуют точные оценки на количество перестановочных двучленов.
В докладе будет сделан обзор результатов о перестановочных двучленах в конечных полях за последние годы и будут приведены нерешенные проблемы в данной области.
Также в докладе будут рассказаны результаты численных экспериментов исследования количества перестановочных двучленов над конечными полями, структуре группы, порожденной такими двучленами, и о количестве двучленов заданной формы.
В теории классических интегрируемых систем существует универсальный метод их решения, в основе которого лежит конструкция семейства спектральных кривых и геометрическое описание переменных "угол". В докладе пойдет речь о построении квантового аналога данного метода для случая рациональной и эллиптической системы Годена.
Будет напомнена классическая конструкция системы Хитчина интегрируемых систем и определена система Годена, определена жесткая задача квантования интегрируемых систем. Конструктивная часть этой задачи будет решена с помощью квантового характеристического полинома. Часть задачи квантования, связанная с решением квантовой системы, будет решена в терминах семейства симметрий множества решений квантовой модели.
Также будут пояснены некоторые связи данного сюжета с геометрическим соответствием Ленглендса, конструкцией центра универсальной обертывающей алгебры аффинной sln.
Каждому ребру полного графа на n вершинах присвоено число, называемое расстоянием; требуется найти гамильтонов цикл наибольшей длины. Эта задача является NP-трудной. Однако известны способы задания расстояний такие, что задача коммивояжера становится разрешимой за полиномиальное по n время. Существует ли простая шкала, позволяющая оценить меру трудности входных данных?
Предлагается классификация входных данных, основанная на изучении комбинаторной структуры многогранников, инвариантных относительно симметрической группы Sn. Возникающие на этом пути классы находятся во взаимно однозначном соответствии с разбиениями числа n на нечетные части, в которых часть, равная единице, имеет четную кратность. Обсуждается связь между такими разбиениями и оптимальными гамильтоновыми циклами.
Пусть Δ=ABC -- треугольник большой площади S/2. Обозначим через F(ABC) количество строго выпуклых ломаных AC1C2...CkB с целыми вершинами внутри Δ. Известно, что
lim ln F(Δ)S-1/3 =3(ζ(3)/ζ(2))1/3 (*)
если треугольник Δ растет "пропорционально" (например, так: C=(0,0), A=(√S,0), B=(0,√S)). Мы объясним, каков верхний предел левой части (*) по S→∞ (он строго больше правой части). Для прямоугольных треугольников с катетами, идущими по осям (но очень вытянутых), верхний предел левой части (*) равен правой части в предположении некоторого знания о поведении дзета-функции Римана в критической полосе (более слабого, чем гипотеза Римана).
В докладе рассматривается группа рациональных перекладываний отрезка (группа R) и описываются все её неразложимые характеры. Группа R есть индуктивный предел симметрических групп относительно периодических вложений, поэтому она является аналогом бесконечной симметрической группы, а наш результат --- аналогом теоремы Э.Тома.
Описание неразложимых характеров группы R основано на эргодическом методе А.М.Вершика и С.В.Керова, т.е. на их аппроксимации неразложимыми характерами групп Sn. Оказывается, что предельное поведение (в смысле группы R) последовательности таких характеров определяется всего одной статистикой на множестве диаграмм Юнга: минимумом из числа клеток под первой строкой и правее первого столбца диаграммы (последовательность неразложимых характеров групп Sn, соответствующая некоторой последовательности диаграмм, стремится к неразложимому характеру группы R, если и только если указанная статистика имеет предел вдоль данной последовательности диаграмм). Доказательство этого факта распадается на два случая в зависимости от того, конечен или бесконечен предел статистики вдоль последовательности диаграмм. Первый случай сводится к одной формуле для характеров групп Sn, которая может представлять самостоятельный интерес. Во втором случае мы работаем с классическим правилом Ф.Д.Мурнагана и Т.Накаямы, используя различные алгебраические и аналитические соображения. Требуемое утверждение в этом случае доказано совместно с Ф.В.Петровым.
В докладе будет рассказано об адическом автоморфизме, порожденном графом Паскаля. Так как энтропия этого автоморфизма равна нулю, интересно изучить масштабированную энтропию. С помощью комбинаторных рассуждений получена оценка снизу масштабирующей последовательности, логарифмический рост которой свидетельствует о недискретности спектра автоморфизма.
Имеется конечный ориентированный граф, на ребрах которого написаны сохраняющие меру преобразования пространства X, каждому из которых (а также их композициям) естественным образом сопоставляется оператор, например, в L_p. Что можно сказать про s_n -- усреднения таких операторов по ориентированным путям длины n? При помощи раскрытия скобочек и теоремы Перрона-Фробениуса мы докажем их сходимость в смысле Чезаро и истолкуем результат в терминах названия доклада.