Если группа такова, что любое ее $\e$-почти представление при достаточно малых $\e$ может быть включено в асимптотическое представление, будем говорить, что эта группа обладает свойством асимптотической устойчивости (АС). В докладе описаны некоторые классы групп со свойством АС. Сюда относятся свободные, конечные, абелевы группы и фундаментальные группы ориентируемых поверхностей. Основным объектом изучения являются здесь пары почти коммутирующих операторов.
Мы также приводим пример группы $\Gamma$, не обладающей свойством АС. Этот пример интересен еще и тем, что является примером группы, не обладающей достаточным запасом асимптотических представлений в том смысле, что не все элементы $K$-функтора классифицирующего пространства группы $\Gamma$ могут быть получены с помощью асимптотических представлений.
В докладе также обсуждается связь между асимптотическими представлениями группы $\Gamma$ и представлениями группы $\Gamma\times{\bf Z}$ в унитарную группу алгебры Калкина (фредгольмовыми представлениями). Разработанный подход позволяет лучше понять связь между функторами $KK$ Каспарова и $E$ Конна--Хигсона на категории $C^*$-алгебр.
A_k(m,c_1,...,c_p), B_k(m,c_1,...,c_p),
C_k(m,c_1,...,c_p), D_k(m,c_1,...,c_p), k=1,...,q,
такие, что теорема о четырех красках эквивалентна следующему утверждению:
для любых натуральных n и m существуют натуральные числа c_1,..., c_p такие
что
E(n,m,c_1,...,c_p) не делится на 7,
где E(n,m,c_1,...,c_p) есть произведение q биномиальных коэффициентов
/ A_k(m,c_1,...,c_p)+7^n B_k(m,c_1,...,c_p) \
\ C_k(m,c_1,...,c_p)+7^n D_k(m,c_1,...,c_p) /
(явные выражения для A_k, B_k, C_k и D_k при p=24 и q=986 приведены
в работе докладчика ).
В докладе будет обрисовано доказательство и мотивирован интерес к подобной
переформулировке.