Геометрия и топология

4 семестр, весна 2021.

Лекция 1: Римановы многообразия. Плоскость Лобачевского (начало).

Лекция 2: Плоскость Лобачевского (продолжение). Тензоры на многообразиях (начало).

Лекция 3: Тензоры на многообразиях (продолжение). Аффинные связности (начало).

Лекция 4: Аффинные связности (продолжение). Геодезические и экспонента (начало).

Лекция 5: Геодезические и экспонента (продолжение). Лемма Гаусса и следствия.

Лекция 6: Теорема Хопфа-Ринова. Тензор кривизны.

Лекция 7: Тензор кривизны в двумерном случае. Полугеодезические координаты. Полярные геодезические координаты. Метрики постоянной кривизны.

Лекция 8: Сравнение длин, расстояний и углов. Формула Гаусса-Бонне

Лекция 9, часть 1: Кривизна и эйлерова характеристика. Метрики постоянной кривизны на поверхностях.

Лекция 9, часть 2: Теорема Уитни. Ориентация (начало).

Лекция 10: Ориентация (продолжение). Многообразия с краем (начало).

Лекция 11: Многообразия с краем (продолжение). Формулировка теоремы Сарда и следствия.

Лекция 12: Доказательство теоремы Сарда.

Лекция 13: Степень отображения.

Лекция 14: Приложения степени: теорема о еже, индекс гиперповерхности относительно точки, гладкая теорема Жордана.

Вопросы к экзамену

3 семестр, осень 2020.

Лекция 1: Построение универсального накрытия. Поднятие отображений.

Лекция 2: Поднятие отображений и морфизмы накрытий. Длина гладкой кривой.

Лекция 3: Натуральная параметризация кривой. Кривизна плоской кривой.

Лекция 4: Поворот плоской кривой. Выпуклые кривые. Кривизна пространственной кривой.

Лекция 5: Кривые в старших размерностях.

Лекция 6: Гладкие многообразия.

Лекция 7: Касательные пространства, дифференцирование. Подмногообразия (начало).

Лекция 8: Подмногообразия (продолжение). Регулярные прообразы, графики, трансверсальные пересечения.

Лекция 9: Первая квадратичная форма поверхности. Изометрии.

Лекция 10: Вторая квадратичная форма поверхности.

Лекция 11: Главные кривизны. Кривые на поверхностях. Выпуклые поверхности.

Лекция 12: Гауссова кривизна как якобиан, параллельные поверхности. Символы Кристоффеля.

Лекция 13: Теорема Гаусса. Развертывающиеся поверхности. Касательные векторы как дифференцирования (начало).

Лекция 14: Касательные векторы как дифференцирования (окончание). Скобка Ли.

Лекция 15: Скобка Ли и потоки. Язык векторных расслоений.

Вопросы к экзамену

2 семестр, весна 2020.

Лекция 1: Классификация поверхностей (начало).

Лекция 2: Классификация поверхностей (окончание). Евклидовы пространства.

Лекция 3: Углы. Ортогональность (начало).

Лекция 4: Ортогональность (продолжение). Ортогональные преобразования (начало).

Лекция 5: Ортогональные преобразования (продолжение). Ориентация.

Лекция 6: Аффинные пространства. Аффинные подпространства.

Лекция 7: Аффинные отображения (начало).

Лекция 8: Аффинные отображения (продолжение). Проективные пространства (начало).

Лекция 9: Проективные пространства (продолжение). Проективные отображения (начало).

Лекция 10: Проективные отображения (продолжение). Кривые и поверхности второго порядка (начало).

Лекция 11 (виртуальная): Кривые и поверхности второго порядка (продолжение).

Лекция 12 (виртуальная): Кривые и поверхности второго порядка (окончание).

Лекция 13: Проективные квадрики.

Лекция 14: Выпуклые множества. Теорема Каратеодори.

Лекция 15: Теоремы Радона и Хелли. Топология выпуклых множеств (начало).

Лекция 16 (с заметками): Топология выпуклых множеств (продолжение). Отделимость (начало).

Лекция 17 (с заметками): Строгая отделимость (окончание). Опорные гиперплоскости. Нестрогая отделимость.

Лекция 18 (с заметками): Экстремальные точки. Теорема Вейля-Минковского (первая часть). Поляра (начало).

Лекция 19 (с заметками): Поляра. Теорема Вейля-Минковского (вторая часть).

Лекция 20 (с заметками): Гомотопии. Определение фундаментальной группы.

Лекция 21 (с заметками): Фундаментальная группа (продолжение). Односвязные пространства (начало).

Лекция 22 (с заметками): Односвязные пространства (продолжение). Накрытия (начало).

Лекция 23 (с заметками): Поднятия путей и гомотопий. Фундаментальная группа проективного пространства и окружности.

Лекция 24 (с заметками): Применения фундаментальной группы окружности.

Лекция 25 (с заметками): Гомотопическая эквивалентность.

Лекция 26 (с заметками): Фундаментальная группа графа.

Лекция 27 (с заметками): Фундаментальная группа графа (добавления). Клеточные пространства (начало).

Лекция 28 (с заметками): Приклеивание 2-мерных клеток.

Лекция 29 (с заметками): Фундаментальная группа клеточного пространства (окончание). Фундаментальные группы поверхностей.

Вопросы к экзамену

1 семестр, осень 2019.

Лекция 6: Непрерывность и произведение. Гомеоморфизм.

Лекция 7: Аксиомы счётности. Аксиомы отделимости.

Лекция 8: Связность. Линейная связность. (Исправления 08.01.2020)

Лекция 9: Линейная связность (окончание). Компактность.

Лекция 10: Компактность (окончание). Полные метрические пространства. Компактность метрических пространств (начало).

Лекция 11: Компактность метрических пространств (окончание). Факторизация (начало).

Лекция 12: Факторизация (окончание). Многообразия.

Лекция 13 (дополнительная): Теорема Тихонова о компактности. Теорема о пополнении. Одномерные многообразия.

Вопросы к экзамену